Цепь переменного тока с индуктивным сопротивлением

Многие элементы электрических установок состоят из индуктивных катушек, обладающих индуктивностью L. При включении такой катушки в цепь переменного тока, в ней мгновенно проявляется действие ЭДС самоиндукции -, препятствующее изменению тока. Величина этой ЭДС настолько значительна, что на ее уравновешивание затрачивается основная часть напряжения, приложенного к катушке, и лишь его небольшая частьприходится на падение напряжения в активном сопротивлении катушки. Поэтому часто активное сопротивление катушки приравнивается к нулю, и такую катушку называют идеальной катушкой индуктивности. Цепь переменного тока с такой катушкой называется цепью с индуктивной нагрузкой (рис. 2.6).

Рис. 2.6 Цепь переменного тока с индуктивной нагрузкой.

К зажимам цепи подведено синусоидальное напряжение u. Под действием этого напряжения в цепи возникает ток, мгновенное значение которого равно (2.8)

Ток возбуждает в катушке ЭДС самоиндукции, пропорциональную скорости изменения тока в цепи

(2.9)

В любой момент времени ЭДС самоиндукции - уравновешивается напряжением на зажимах цепи u

(2.10)

Подставляя (2.8) и (2.10) в (2.9), имеем:

(2.11)

где амплитудное значение напряжения:

(2.12)

Разделив обе части уравнения (2.12) на, получим выражение закона Ома для цепи с идеальной катушкой индуктивности.

(2.13)

Рассмотрим размерность знаменателя выражения (2.13)

Обозначим t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>=</m:t></m:r><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>П‰L</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> и назовем индуктивным сопротивлением идеальной катушки. Его величина зависит от индуктивности катушки и частоты питающего тока.

Сравнивая между собой уравнения (2.8) и (2.11) делаем вывод: в цепи переменного тока с индуктивной нагрузкой напряжение опережает ток на угол в 90°.

Мгновенная мощность цепи определяется как произведение мгновенных значений тока и напряжения, т.е.

Таким образом, мгновенная мощность в цепи переменного тока с индуктивностью изменяется во времени с удвоенной частотой по отношению к частоте тока.

Построим векторную и волновую диаграммы цепи с индуктивным сопротивлением (рис. 2.7).

Рис. 2.7 Векторная и волновая диаграммы цепи переменного тока с индуктивным сопротивлением.

Анализ волновой диаграммы позволяет сделать следующие выводы:

В течение первой и третьей четвертей периода переменного тока при его изменении от нуля до амплитудного значения, мощность положительна. Это означает, что энергия,посылаемая источником во внешнюю цепь, запасается в катушке индуктивности в форме энергии магнитного поля

.

В течении второй и четвёртой четвертей периода, при изменении тока от амплитудного значения до нуля, мощность отрицательна. Это означает, что катушка индуктивности возвращает запасенную энергию источнику.

Таким образом, в цепи переменного тока с идеальной катушкой индуктивности происходит периодический обмен энергией между внешним источником и магнитным полем катушки. Средняя активная мощность за период оказывается равной нулю, т.е. источник в такой цепи не расходует энергиии, следовательно, в индуктивности не происходит необратимого преобразования электрической энергии в другие виды энергии.

Мощность цепи с идеальной катушкой оценивают по величине индуктивной мощностиQ_L, измеряемой в ВАр (вольт-ампер реактивный) ихарактеризующей интенсивность обмена энергией между генератором и магнитным полем катушки

.

Индуктивная мощность в отличие от активной мощности не может быть использована в практических целях.

2.4. Цепь переменного тока с ёмкостным сопротивлением.

Как известно из физики, два проводника, разделённых слоем диэлектрика, образуют электрический конденсатор, обладающий определённой электрической емкостью.

Рассмотрим цепь переменного тока, в которую включен конденсатор емкостью С (рис. 2.8).

Рис. 2.8 Цепь переменного тока с ёмкостной нагрузкой.

К зажимам цепи подведено синусоидальное напряжение, мгновенное значение которого равно (2.14)

Под действием этого напряжения в замкнутой цепи возникает ток, мгновенное значение которого равно:

(2.15)

где q – количество электрических зарядов, измеряемое в кулонах.

Этот ток вызывает падение напряжения между пластинами конденсатора u_c. В любой момент времени напряжение между пластинами конденсатора уравновешивает напряжение, приложенное к зажимам цепи, т.е.

(2.16)

Количество электрических зарядов на пластинах конденсатора в любой момент времени определяется по формуле

(2.17)

Подставляя (2.17) и (2.16) в (2.15), получим

(2.18)

Подставляя (2.14) в (2.18), получаем

(2.19)

где - амплитудное значения тока

(2.20)

Разделив обе части уравнения (2.20)на получим,закон Ома для цепи переменного тока с конденсатором.

(2.21)

Рассмотрим размерность знаменателя выражения (2.21)

Обозначим и назовем емкостным сопротивлением конденсатора. Емкостное сопротивление зависит от емкости конденсатора и частоты тока.

Сравнивая между собой выражения (2.14) и (2.19) делаем вывод: в цепи переменного тока с конденсатором напряжение отстаёт от тока по фазе на 90°.

Мгновенная мощность цепи с конденсатором равна

(2.22)

Построим векторную и волновую диаграммы цепи с емкостным сопротивлением (рис. 2.9).

Рис. 2.9 Волновая и векторная диаграммы цепи переменного тока с емкостным сопротивлением.

Из выражения (2.22) и векторной диаграммы видно, что мгновенная мощность в цепи с конденсатором изменяется во времени с удвоенной частотой, по отношению к частоте тока. В течении 1 и 3 четвертей периода при изменении напряжения от нуля до амплитудного значения мощность положительна. Это означает, что энергия посылаемая во внешнюю цепь источником запасается в конденсаторе в виде энергии электрического поля. В течение второй и четвёртой четвертей периода, при изменении напряжения от амплитудного значения до нуля мощность отрицательна. Это означает, что конденсатор возвращает запасенную энергию обратно источнику.

Таким образом в цепи переменного тока с конденсатором происходит периодический обмен энергией между внешним источником и электрическим полем конденсатора. Средняя мощность, потребляемая конденсатором за период, равна нулю, т.е. в такой цепи источник не расходует энергию и, следовательно, в конденсаторе не происходит необратимого преобразования электрической энергии в другие виды энергий.

Мощность цепи с конденсатором оценивается по величине емкостной мощности, измеряемой, как и индуктивная мощность, в вольт-ампер реактивных и характеризующейинтенсивность обмена энергией между генератором и электрическим полем конденсатора

[ВАр]

Индуктивная и емкостная мощности называются реактивными мощностями.Емкостная мощность конденсатора не может быть использована в практических целях.

2.5. Цепь переменного тока с последовательным соединением активного, индуктивного и ёмкостного сопротивлений

(последовательная R-L-C цепь).

При последовательном соединении активного, индуктивного и емкостного сопротивлений (рис. 2.10)через все элементы цепи проходит один и тот же ток, мгновенное значение которого описывается уравнением

Рис. 2.10 Цепь переменного тока с последовательным соединением активного, индуктивного и ёмкостного сопротивлений.

Ток вызывает соответствующие падения напряжений:

- в активном сопротивлении, активное падение напряжения

– совпадающее по фазе с током;

- в индуктивном сопротивлении, индуктивное падение напряжения – опережающее ток на угол 90°;

- в емкостном сопротивлении, емкостное падение напряжения – отстающее от тока на 90°.

Составим по второму закону Кирхгофа уравнение равновесия напряжений:

При сложении синусоидальных величин одинаковой частоты получается синусоидальная величина той же частоты с амплитудой равной геометрической сумме амплитуд складываемых величин:

Разделив все члены уравнения на получаем уравнениев действующих значениях напряжений:

На основании этого уравнения построим векторную диаграмму рассматриваемой цепи. При этом в качестве исходного или базисного вектора выберем вектор тока, т.к. он одинаков для всех элементов цепи. По отношению к этому вектору откладываем вектора напряжений в соответствии с выбранным масштабом (рис 2.11).

Рис. 2.11 Векторная диаграмма цепи переменного тока с последовательным соединением R, X_L, X_C.

Диаграмма построена в предположении, что

Полученный треугольник ОАВ называют треугольником напряжений.

Алгебраическая сумма напряжений называется реактивным напряжением и обозначается через

Из треугольника ОАВ получим:

(2.23)

Из треугольника ОАВ (рис. 2.11) можно определить значения активного и реактивного напряжений последовательной цепи переменного тока:.

Если все стороны треугольника напряжений разделить на величину тока I получим треугольник сопротивлений (рис (2.12), где R,X,Z – активное, реактивное и полное сопротивленияпоследовательной цепи соответственно.

Рис. 2.12. Треугольник сопротивленийцепи переменного тока с последовательным соединением R, X_L, X_C.

Из треугольника сопротивлений имеем

(2.24)

Подставляя в выражение (2.23) =IR,, =I, с учетом (2.24) получаемзакон Ома для цепи переменного тока с последовательным соединением активного, индуктивного и емкостного сопротивлений.

Если все стороны треугольника напряжений умножить на величину тока I, то получим треугольник мощностей.

Рис. 2.13. Треугольник мощностейцепи переменного тока с последовательным соединением R, X_L, X_C.

где P, Q, S – активная, реактивная и полная мощностипоследовательной цепи соответственно;

Q_L, Q_C – индуктивная и емкостная мощности цепи.

– называется коэффициентом мощности цепи, потому что его величина показывает, какая часть полной мощности цепи является активной.