Интегрирование по частям и интегрирование подстановкой в определенном интеграле

а) Формула интегрирование по частям для вычисления определенного интеграла имеет вид: (4)

Пример. Вычислить

Решение.

Положим, что x=u, cosxdx=dv, то dx=du, v=sinx

Применяя формулу интегрирования по частям, найдем

так как

б) Пусть дан определенный интеграл и по каким-то соображениям нам желательно ввести новую переменную t, связанную с прежней x соотношением

где

При изменении t от α до β переменная x меняется от a до b,

т.е. (5)

Тогда справедлива формула:

(6)

Эта формула перехода к новой переменной под знаком определенного интеграла.

Замечание. При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет необходимости возвращаться к прежней переменной.

Пример. Вычислить определенный интеграл