Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.
1.Определенный интеграл от непрерывной неотрицательной функции f(x) при a ≤ b равен площади соответствующей криволинейной трапеции, т.е.
(7) или (7`) – площадь криволинейной трапеции прилежащей к оси OX
, где (8) – площадь криволинейной трапеции, прилежащей к оси OY.
2.Если , а на [a,b], то площадь плоской фигуры, заключенной между ними равна:
3.Если кривая, заданная уравнением y=f(x) на отрезке [a,b], пересекает ось OX в точках и и расположена между этими точками под осью OX, то вся площадь фигуры выразится так:
Пример. Вычислить площадь фигуры S, ограниченной кривыми y= -x2 и y=ex, осью ординат и прямой x=1
Решение.
Ответ:
Определенный интеграл от заданной непрерывной функции y=f(x) на отрезке [a,b] вычисляется не всегда точно. Пользуясь его геометрическим смыслом можно дать ряд приближенных формул, с помощью которых этот интеграл находится с любой степенью точности. Рассмотрим из них, так называемую формулу трапеций
|
|
- площадь криволинейной трапеции
Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей,
- шаг разбиения.
Пусть - абсциссы точек деления
и - соответствующие ординаты кривой.
В результате построения криволинейная трапеция разбилась на ряд вертикальных полосок одной и той же ширины h, каждую из них приближенно примем за трапецию.
Суммируя площади имеем:
или
- формула трапеций.