Непрерывность

Предел функции нескольких переменных.

Определение 1. Число А называется пределом функции в точке , если при любом Е >0 найдется такое δ >0, что для всех точек из области определения функции, отстоящих от меньше чем на δ, выполняется неравенство .

Обозначение: .

Все свойства пределов, указанные ранее для функции одной переменной, верны и для функции

нескольких переменных.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если выполняется неравенство , причем точкастремится к точке произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Пример3. Найти .

Решение.

так как

Тесты для самоконтроля знаний.

1. Переменная величина z называется функцией двух переменных х и у, если:

а) каждому значению х при постоянном значении у соответствует значение z

б) каждой паре значений х и у соответствует единственное значение z

в) каждой паре значений х и у соответствует множество значений z

г) каждому значению у соответствует значение z

2. Частное приращение функции z = f (х,у) по х определяется по формуле

а) D _х z = f (х + Dх, у) - f (х, у)

б) D _х z = f (х + Dх, у) - f (х, у + Dу)

в) D _х z = f (х + Dх, у + Dу) - f (х, у + Dу)

г) D _х z = f (х + Dх, у + Dу) - f (х, у)

3. Линией уровня функции z = f (х,у называется:

а) линия на плоскости ОХZ, в точках которой функция сохраняет постоянное значение

б) линия на плоскости ОУZ, в точках которой функция имеет различные значения

в) линия на плоскости ОХУ, в точках которой функция сохраняет постоянное значение

г) линия на плоскости ОХУ, в точках которой х и у сохраняют постоянные значения