Лекция № 23-24

Список используемой литературы

Задачи для самостоятельного решения.

Вывод.

Для функции нескольких переменных вводится понятие частных производных по независимым переменным первого, второго и выше порядков, которые используются при нахождении экстремумов, а также при решении экономических задач.

Частные производные второго порядка z˝_ху и z˝_ух называются смешанными, они равны друг другу, так что не следует находить их обе.

Частные производные используют для нахождения полного дифференциала функции нескольких переменных, а он может применяться для приближенных вычислений.

1. Найдите частные производные первого и второго

порядка функций:

а) z = ln (х ² + у ² ) б) z = (х ² + у ² ) ²

2. Найдите полные дифференциалы функций:

а) z = sin ²х + cos ²у; б) u = ln (х ² + у ² + z ²)

3. Вычислить приближенно величину (1,003) ^2,07.

4. Фирма производит два вида товаров и продает их поцене 1000 тенге и 800 тенге за единицу. Функция затрат (издержек) имеет вид: С = 2 Q₁² + 2 Q₁Q₂ + Q₂², где Q₁ и Q₂ – объемы выпуска товаров. Суммарный доход фирмы от продажи товаров R = 1000 Q₁ + 800 Q₂. Требуется определить такие значения Q₁ и Q₂, при которых прибыль F, получаемая фирмой, будет максимальна (прибыль – это разница между доходом R и затратами С).

Тесты для самоконтроля знаний.

1. Какие производные второго порядка функции z = f (х, у) называются смешанными?

а) ¶ ² z / ¶ ² х и ¶ ² z / ¶ ² у

б) ¶ ² z / ¶ х ¶ у и ¶ ² z / ¶ ² у

в) ¶ ² z / ¶ ² х и ¶ ² z / ¶ х ¶ у

г) ¶ ² z / ¶ х ¶ у и ¶ ² z / ¶ у ¶ х

2. Как выражается полный дифференциал функции z = f (х, у) через ее частные производные?

а) dz = z΄_х dx + z ΄_у dy; б) dz = dx + dy;

в) dz = z΄_х + z ΄_у; г) dz = z΄_х dx + dy.

3. Частной производной от функции z = f (х, у) по х называется функция переменных х и у, полученная при дифференцировании:

а) функции f (х, у) по у в предположении, что х считается постоянной величиной

б) функции f (х, у) по х в предположении, что у считается постоянной величиной

в) функции f (х, у) по х и по у

г) функции f (х, у) по х в предположении, что у считается переменной величиной

1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Ч.1. – М.: ОНИКС. 2003. – 304 с.

2. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Ч.2. – М.: ОНИКС. 2003 – 415 с

3. Ермаков, В.И. Сборник задач по высшей математике. Учебное пособие. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 575 с

4. Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики. Учебник. –М.: ИНФРА-М, 2003. – 656 с.

5. Колесников, А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М.,2001, - 208 с.

6. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 2004. – 471 с.

Тема «Функции нескольких переменных»

Цель: рассмотреть необходимые и достаточные условия экстремума, наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных.

Ключевые слова: экстремум функции, стационарные точки, критические точки.

Вопросы:

1. Необходимые условия экстремума.

2. Достаточные условия экстремума функции двух переменных.

3. Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных.