Вычисление натуральных логарифмов

(1)

(N>0)

(1+x)N=(1-x)(N+1), N+Nx=N-Nx+1-x,

2Nx+x=1, x(2N+1)=1,

Подставляя эти значения в ряд (1) получим

(2)

ln1=0

ln2;

ln4=ln2², ln6=ln2*3=ln2*ln3, ln8=ln2³=3ln2.

ln5, ln7… находим с помощью равенства (2).

6.4. Применение рядов для вычисления определенных интегралов.

Если функция в конечном виде не интегрируется или ее интегрирование очень трудоемко, то определенный интеграл от такой функции вычисляется с помощью рядов. В этом случае сначала выражают первообразную функцию в виде ряда, а затем по формуле Ньютона-Лейбница находят разность значений первообразной функции, вычисленных при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Число членов полученного ряда определяется заданной точностью вычисления.

Пример. Полученный ряд знакочередующийся, поэтому величина ошибки не превосходит величины отброшенного члена.

Тесты для самосконтроля знаний.

1. Степенным рядом называется ряд, если его члены являются:

а) числа; б) функции; в) матрицы.

2. Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал:

а) (-R;+R); б)(); в) (-1;+1).

3. Укажите какой ряд называется рядом Маклорена:

а)

;

б)

;

в) f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…

4. Можно ли при малых х считать, что , если да, то чему равен sin1⁰?

а) 0; б) 1; в) 0,0174.

5. Вычислите приближенно cos1⁰/

а) 0; б) 1; в) 0,174.