Решение задачи газодинамики для открытой камеры сгорания дизеля

Рассмотрим движение рабочего тела в профилированной камере сгорания (фигурный профиль имеет поршень). Считаем, что головка цилиндров плоская, а потому движение заряда будет инициироваться именно поршнем. Рассмотрим ядро потока с принятыми ранее допущениями о квазиравновесности и квазистационарности протекающего процесса.

Будем рассматривать процессы при постоянной массе (или при закрытых органах газораспределения). Будем также считать, что в начальный момент сжатия заряд движения не имеет. Примем, что профиль поршня симметричен относительно оси цилиндра (рис. ХХ).

Рис. ХХ. Расчетная схема открытой КС дизеля

Плоскость О-О выберем из соображений, чтобы объем цилиндра, образовавшегося выше этой плоскости был бы равен истинному объему камеры сжатия.

Введем обозначения: F _п – площадь проекции поршня; H – текущее расстояние от головки цилиндра до плоскости О-О; Z (r) – текущее расстояние от поверхности головки цилиндра до точек на поверхности поршня; r ₀ – радиус профилированной части поршня (горловины): D S – расстояние от плоскости О-О до профиля поршня в его центральной части.

В любой момент времени масса рабочего тела M = V r. Возьмем логарифмическую производную от этого выражения:

(104)

и поскольку , а M = const, то

.

Сократив F _п и разделив обе части уравнения на dt, получим:

(105)

Поскольку , окончательно получим:

(106)

Для описания движения газа в цилиндре воспользуемся уравнением сплошности несжимаемой среды в нестационарной постановке:

.

(107)

Сравнивая выражения (106) и (107), получим:

(108)

Это и есть основное уравнение, описывающее движение заряда в цилиндре двигателя, причем

для плоской задачи: ,

а для осесимметричной: .

При записи (108) следует отметить следующее. Во-первых, уравнение сплошности не является основным уравнением движения (в частности Эйлера) для невязкого газа. Однако такой подход нередко применяют для получения относительно простых решений применительно к “потенциальных” течениям газа, характеризующегося развитой турбулентностью. Во-вторых, уравнение (108) отражает прямой нестационарный подход к решению газодинамической задачи для ядра потока.

Далее будем рассматривать осесимметричный случай. Перепишем уравнение (108):

.

(109)

Введем потенциал скорости так, что

.

Подставив потенциалы скорости в исходное уравнение, получим:

.

(110)

Граничные условия, в соответствии с условиями непроницаемости стенок имеем следующие:

и .

(111)

Уравнение (110) – линейное неоднородное в частных производных второго порядка. Общее решение будем искать в виде суммы однородного уравнения с нулевой правой частью j₀ и решения, обусловленного видом правой части – d_j, т.е.:

.

(112)

Выразим профиль поршня некоторой функцией:

,

(113)

где f (r) – функция профиля поршня.

Запишем условие равенства объемов над плоскостью О-О и истинного объема цилиндра, исходя из (113):

.

(114)

После выноса постоянной из-под знака интеграла, имеем:

.

После очевидных сокращений получаем:

.

(115)

Выражение (115) представляет собой условие нормировки объема камеры сгорания (рис. ХХ).

Рис. ХХ. К определению условия нормировки КС

Введем относительный текущий радиус и функцию профиля поршня f (r), которую аппроксимируем полиномом n -ой степени:

.

(116)

В этом выражении положим r = 1, что соответствует r = R, тогда

(117)

– характеристика профиля поршня, которая характеризует степень кривизны его поверхности.

Сделаем следующий ход: домножим (110) на z, тогда получим:

.

(118)

Следует заметить, что правая часть полученного уравнения в точности равна осевой проекции вектора скорости для плоскопараллельной камеры сгорания и представляет собой линейное распределение скоростей вдоль поверхности гильзы цилиндра.

Далее будем искать решение для относительно неглубоких камер сгорания, тогда с некоторой степенью точности посчитаем, что профиль скорости вдоль оси z такой же, как для плоскопараллельной камеры сгорания. То есть, будем считать, что составляющую скорости u_z (r, z) мы нашли и она, в предположении малой глубины КС, равна:

.

(119)

Остается найти вторую составляющую скорости u_r (r, z).

Установим связь общего решения (112) с условием нормировки (115) при условии z = Z – на поверхности поршня. Поскольку составляющая скорости u_z может быть представлена как

;

(120)

с другой стороны на поверхности поршня:

.

(121)

Очевидно, приняв (119), мы приняли, что вид правой части исходного уравнения определяет “переносную” составляющую движения заряда, связанную с возвратно-поступательным движением поршня со скоростью C _п. Тогда можно сказать, что , поскольку часть общего решения d_j обусловлена видом правой части (110).

Другая часть решения – по всей видимости, обусловлена “вытеснительным” действием профиля поршня.

Запишем аналогичное выражение для составляющей скорости u_r:

,

(122)

причем очевидно, что , поскольку переносного движения вдоль радиуса цилиндра нет. Теперь для нахождения скорости u_r от уравнения (110) остается только выражение для составляющей j₀ для нулевой правой части (поскольку последняя обуловила решение для u_z):

.

(123)

Граничные условия для уравнения (123):

.

(124)

Уравнение (123) с граничными условиями (124) решается путем введения двух функций, одна из которых является функцией r, другая – функцией z, разделением переменных и введением собственных чисел решения P_k ². В результате чего определяется функция j₀(r, z), а радиальная составляющая скорости u_r (r, z)определится из выражения:

.

(125)

В итоге, выражение для u_r (r, z)выглядит так:

(126)

Здесь: – функции Бесселя 1-го рода 0-го и 1-го порядков;

– максимальный радиус горловины камеры в поршне;

– относительные собственные числа решения; ,
H – расстояние от срединной плоскости поршня до крышки цилиндра.

Таким образом, газодинамическая задача для ядра потока решена – получено поле скоростей в КС в виде составляющих u_r (r, z) и u_z (r, z). Однако для расчета теплоотдачи необходимо знать касательные скорости обтекания отдельных поверхностей камеры сгорания. Определим их.

Для поверхности головки z = 0, тогда:

, а .

(127)

Для поверхности втулки r = R, тогда:

а .

(128)

Для поверхности поршня z = Z (r), тогда:

, а .

(129)

Таким образом, определили проекции вектора скорости на интересующих нас стенках. Для определения касательных скоростей воспользуемся направляющими косинусами к поверхностям КС (рис. ХХ).

Для головки: , тогда поскольку u_z = 0, .

Для втулки, поскольку u_r = 0, , т.к. n_r = 1.

Для поршня:

; .

Тогда:

, или:

.

(130)

Рассмотрим теперь течение газа в камере сгорания (рис. ХХ).

Рис. ХХ. Картина обтекания поверхностей открытых КС дизелей.

Здесь: К – точка, где касательная скорость на стенке равна нулю

Выводы:

1) Полученное решение справедливо для относительно неглубоких камер сгорания открытого типа. Предельный случай – ЯМЗ, КамАЗ.

2) В отличие от плоскопараллельной камеры сгорания имется интенсивное обтекание поверхностей головки и поршня, инициированное профилем поршня, следовательно для них тип теплообмена будет определенно конвективным, а значит и интенсивность теплоотдачи здесь будет явно выше, чем в плоскопараллельной камере сгорания.

В общем случае, чем глубже камера сгорания, тем интенсивнее движение заряда в ней, а следовательно, выше средний коэффициент теплоотдачи и уровень теплонапряженности деталей, ограничивающих камеру сгорания.

3) Касательная скорость обтекания поверхностей КС u ₀ = var, следовательно движение газа вблизи стенки будет градиентным.