Вероятностный подход к описанию погрешностей

Полным описанием случайной величины, а следовательно и погрешности, является ее закон распределения, которым опре­деляется характер появления различных результатов отдельных измерений. В практике электрических измерений встречаются различные законы распределения, некоторые из которых рассмотрены ниже.

Нормальный закон распределения (закон Гаусса).Этот за­кон является одним из наиболее распространенных законов рас­пределения погрешностей. Объясняется это тем, что во многих случаях погрешность измерения образуется под действием боль­шой совокупности различных, независимых друг от друга причин. На основании центральной предельной теоремы теории вероятно­стей результатом действия этих причин будет погрешность, рас­пределенная по нормальному закону при условии, что ни одна из этих причин не является существенно преобладающей.

Нормальный закон распределения погрешностей описывается формулой

где w(Dx) —плотность вероятности погрешности Dx; s(Dx) — среднее квадратическое отклонение погрешности; Dx_c — система­тическая составляющая погрешности.

Вид нормального закона представлен на рис. 1

Таким образом, закон распределения погрешности D х отлича­ется от закона распределения случайной составляющей погрешности только сдвигом по оси абсцисс на величину систематиче­ской составляющей погрешности Δ х _с.

Из теории вероятностей известно, что площадь под кривой плотности вероятности характеризует вероятность появления по­грешности. Из рис.1, б видно, что вероятность Р появления погрешности в диапазоне ± при σ₁[ ] больше, чем при (площади, характеризующие эти вероятности, заштрихо­ваны). Полная площадь под кривой распределения всегда равна 1, т.е. полной вероятности. Учитывая это, можно утверждать, что погрешности, абсолютные значения которых превышают ₁ появляются с вероятностью, равной 1 — Р, которая при σ₁[ ] меньше, чем при σ₂[ ]. Следовательно, чем меньше σ[ ], тем реже встречаются большие погрешности, тем точнее выполнены измерения. Таким образом, cреднее квадратическое отклонение σ[ ] можно использовать для характеристики точности измерений:

Равномерный закон распределения. Если погрешность изме­рений с одинаковой вероятностью может принимать любые значе­ния, не выходящие за некоторые границы, то такая погрешность описывается равномерным законом распределения. При этом плотность вероятности погрешности w (Δx) постоянна внутри этих границ и равна нулю вне этих границ. Равномерный закон распределения представлен на рис. 2. Аналитически он может быть записан так: при

С таким законом распределения хорошо согласуется погреш­ность от трения в опорах электромеханических приборов, не­исключенные остатки систематических погрешностей, погреш­ность дискретности в цифровых приборах и др.

Трапециевидный закон распределения. Это распределение графически изображено на рис.3, а. Погрешность имеет такой закон распределения, если она образуется из двух независимых составляющих, каждая из которых имеет равномерный закон распределения, но ширина Интервала равномерных законов раз­лична. Например, при последовательном соединении двух изме­рительных преобразователей, один из которых имеет погреш­ность, равномерно распределенную в интервале ±Δ х ₁, а дру­гой — равномерно распределенную в интервале ±Δ х ₂, суммар­ная погрешность преобразования будет описываться трапецие­видным законом распределения.

Треугольный закон распределения (закон Симпсона). Это распределение (см. рис.3, б) является частным случаем трапе­циевидного, когда составляющие имеют рдинаковые равномер­ные законы распределения.

Если законы распределения погрешностей неизвестны, то они мо­гут быть установлены на основании статистической обработки опытных данных. Однако эксперимен­тальное определение законов распределения весьма трудоемко, поэтому к нему прибегают лишь при весьма ответственных измерениях.

Иногда закон распределения погрешности принимают, исхо­дя из физического представления о причинах появления погреш­ностей и анализа составляющих погрешностей измерения. Так, например, если погрешность измерения образуется из пяти и бо­лее составляющих, среди которых нет существенно преобладаю­щих, то закон распределения результирующей погрешности обычно принимают нормальным. В противном случае, анализируя составляющие погрешности, принимают для них вид законов распределения и методами теории вероятностей находят закон распределения для результирующей (суммарной) погрешности измерения.

Из сказанного следует, что точный вид закона распределения погрешностей обычно неизвестен. Реальные законы распределе­ния даже в простейших случаях отличаются от теоретических стандартных законов распределения, поэтому характери­стики погрешности не удается найти точно. Однако практика показывает, что погрешность 10—20 % при определении самой погрешности зачастую вполне удовлетворительна. Поэтому ни­когда не следует указывать значение погрешности с большим количеством значащих цифр. Обычно погрешность достаточно выражать одной-двумя значащими цифрами.