Показатели качества, определяемые по виду логарифмических частотных характеристик

Анализ системы стараются проводить на основе изучения ЛАХ (рис. 4). Однако, во всех случаях, вызывающих какие-либо сомнения (например, когда фазочастотная характеристика несколько раз пересекает уровень j(w) = – p), необходимо об устойчивости системы судить по виду амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) в разомкнутом состоянии.

На рис. 2.30 представлен достаточно типичный пример логарифмических частотных характеристик (ЛАХ). Рассматриваемые характеристики позволяют определить:

· Характерные частотысистемы: частоту среза w_сри критическую частоту w_кр согласно выражениям:

A (w_ср) = 1, L (w_ср) = 20× lgA (w_ср) = 0, j(w_кр) =-– p. (2.80)

Таким образом, частота среза – это частота, на которой кривая L(w) пересекает ось ω. Критическая частота – частота, на которой фазовая характеристика j (w) равна – 180° .

Для рассматриваемого на рис.4 примера w_ср@ 10³ 1/с, w_кр @ 2×10³ 1/с.

В большинстве случаев условие w_ср< w_кр означает, что в соответствии с критерием Найквиста рассматриваемая система устойчива (в общем случае заключение об устойчивости следует проводить на основе анализа АФХ системы);

b). Запасы устойчивости по амплитуде и фазе определяются соотношениями:

D L =½ L (w_ср)ï – ï L (w_кр)½=½ L (w_кр)½; Dj = p – ½j(w_ср)½ (2.81)

В рассматриваемом на рис.4 примере D L @ 14 дБ, Dj @ 20° (обычно по техническим условиям желательно иметь D L ³ 12 дБ, Dj ³ 30°);

c). Переходный процесс имеет апериодический характер, если w_српопадает на участок с наклоном – 20 дБ/дек. Необходимая протяженность этого участка будет определена ниже.

Переходный процесс в рассматриваемой на рис. 2.30 системе обладает колебательными свойствами, поскольку частота среза w_срнаходится на участке амплитудно-частотной характеристики с наклоном – 40 дБ/дек.

d). Быстродействие двух однотипных систем (например, два варианта одной системы) можно оценить по частоте среза, поскольку w_ср определяет полосу пропускания системы. Чем шире полоса пропускания, тем выше быстродействие.

e). Для очень колебательных систем частота среза w_ср близка к частоте колебаний переходного процесса и, следовательно, период колебанияпереходной характеристики можно оценить следующим образом:

T _кол @. (2.82)

Если по величине показателя колебательности M задаться числом колебаний r за время переходного процесса (см. таблицу 2.4), то можно определить длительность переходного процесса

t _п» r × T _кол. (2.83)

2.7.2.3. Показатели качества, определяемые по виду амплитудно – фазовой характеристики системы в разомкнутом состоянии (АФХ)

Как уже отмечалось, анализ системы стараются проводить на основе изучения ЛАХ. Но во всех случаях, вызывающих какие-либо сомнения необходимо использовать амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) в разомкнутом состоянии (рис.3). В учебных целях эту характеристику необходимо использовать во всех вариантах задания.

Представляет большие трудности построение АФХ по аналитически полученным формулам. Учитывая, что для анализа системы большой точности не требуется, можно АФХ строить графически на основе имеющихся графиков ЛАХ. Действительно, ЛАХ позволяет для каждого значения частоты w графически определить значение амплитуды А (w) (L (w) = 20× lgA (w)) и фазы j(w) и, используя полярную систему координат, построить точку, принадлежащую АФХ, на комплексной плоскости. Ниже при рассмотрении конкретного примера будет продемонстрирована методика построения АФХ.

Анализ АФХ позволяет сделать следующие выводы:

а). Если системыустойчивы в разомкнутом состоянии (нулевые корни s_i = 0, соответствующие интегрирующим звеньям, считаются условно устойчивыми, инерционным звеньям соответствуют устойчивые корни: s_i = – ),

то в соответствии с критерием Найквиста замкнутая система устойчива, если АФХ не охватывает точку (–1, 0) В случаях, когда передаточная функция системы в разомкнутом состоянии содержит интегрирующие звенья, АФХ дополняется дугой бесконечно большого радиуса, поворачивающую против часовой стрелки низкочастотную часть характеристики на угол, равный девяносто градусам, помноженный на число интегрирующих звеньев (рис. 2.31).

b). Характерные частоты w_ср и w_кри запасы устойчивости D A и Dj могут быть определены и по АФХ и, естественно, их значения должны совпадать с полученными ранее с использованием ЛАХ.

c). Колебательность системы оценивается величине показателя колебательности M.

Показатель колебательности M определяетсяпо виду амплитудно – частотной характеристики A _з(ω) (см. рис. 2.29). Задавшись некоторым значением показателя M, на графике этой характеристики проводят прямую, параллельную оси частот. Эта прямая представляет собой линию постоянного уровня показателя колебательности M нарассматриваемой характеристике.Доказывается (см.), что геометрическое место точек, представляющее указанную линию постоянного уровня амплитудно – частотной характеристики A _з(ω) (см. рис. 2.29), переносится на комплексную плоскость с изображением АФХ.

На комплексной плоскости с изображением АФХ линии постоянного уровня показателя колебательности М представляют собой окружности с центром в точке (– С, 0).Если М >1, то С = , а радиус окружности R = . Концы диаметра этой окружности находятся в точках и (точки A и B на рис 2.31).

Задаваясь рядом значений М, строятокружности, из которых образуется семейство линий постоянного уровня на комплексной плоскостис изображением АФХ. Если окружность постоянного уровня пересекает график АФХ, это означает, что соответствующее ей значение М меньше максимального для рассматриваемой системы показателя колебательности. Для определения показателя колебательности требуется определить такое значение М, при котором окружность касается АФХ (окружности с меьшим значением М целиком находятся внутри с большим его значением).

На рис. 2.31 изображены линии постоянного уровня, которым соответствуют значения М, равные 1,5; 2; 2,5. Для рассматриваемой системы показатель колебательности М = 2.54, т.е. систему следует отнести к разряду сильно колебательных (таблица 2.4). Таким образом, построений на комплексной плоскости вполне достаточно, чтобы определить величину М, но для для большей наглядности можно построить график А _з= А _з(w).