Определение связи между частотными и временными характеристиками

Известно, что временные и частотные характеристики связаны преобразованием Фурье. Это позволяет при наличии временной характеристики системы получить ее частотную характеристику и наоборот. Относительно временных и частотных показателей качества можно сказать, что точной аналитической связи между ними в общем случае не существует. Однако полученные приближенные зависимости позволяют с достаточной для инженера точностью оценивать переходную функцию по известной частотной характеристике и наоборот.

Рассмотрим логарифмическую амплитудную частотную характеристику разомкнутой системы (рис. 19,а). Принято делить весь частотный диапазон системы на три области [2]: область низких, средних и высоких частот.

Рис. 22.19. ЛАЧХ и переходная функция системы

Область низких частот определяется неравенством

20 lg . (22.79)

При Δ = 0,05 (рис. 20 б) имеем

дБ (22.80)

Наклон ЛАХ в области низких частот связан с порядком астатизма системы, а высота – с ее коэффициентом передачи. Таким образом, поведение ЛАХ в данной области определяет точность работы систем установившемся режиме (рис. 22.19,а и б, область Ι). Знание пределов интервала низких частот задающих воздействий, которые воспроизводятся системой без существенных искажений.

Поведение частотных характеристик в области средних частот определяет собой устойчивость систем, а также их запас устойчивости и быстродействия. Во временной области данные качества связаны с поведением систем в переходных процессах (рис. 22.19,а и б, область ΙΙ).

Поведение ЛАХ в области высоких частот соответствует характеру кривой переходного процесса в начальный период (рис. 22.19,а и б, область ΙΙΙ). Вместе с тем данный частотный интервал – это интервал частотного спектра шумов, действующих на систему, а также интервал так называемых малых параметров, пренебрежение которыми при анализе не оказывает существенного влияния на точность результатов исследования.

Рассмотрим связь между частотными и временными показателями качества на примере системы второго порядка, показанной на рис. 22.2.

Величина первого максимума переходной характеристики (рис. 22.20) зависит от параметра затухания ξ также, как и показатель колебательности M. Данные зависимости представлены на рис. 22.20.

Для системы второго порядка это точные зависимости. Отсюда следует, что если известна величина , можно воспользоваться кривыми на рис. 22.20 для определения соответствующего значения ξ, по которому затем можно найти величину M. Подобным же образом определяется и величина по известному значению M.

Из рис. 22.20 следует, что чем больше , тем больше M. Иными словами, большая колебательность системы в переходном процессе обусловлена ее резонансными свойствами, которые находят отражение в величине модуля частотной передаточной функции на частоте резонанса w_р, т.е. величина колебательности М.

Рис. 22.20. Связь частотных и временных показателей

На рис. 22.20 дана взаимосвязь перерегулирования s и показателя колебательности М. Этот график может оказаться полезным, когда известна одна из величин и необходимо определить другую.

Другой важной взаимосвязью частотных и временных характеристик является зависимость между частотой резонанса ω_р и частотой колебаний переходного процесса ω_t.

Так как

(22.81)

(22.82)

То (22.83)

График, соответствующий (22.83) показан на рис. 22.20. Зная, например, ω_р , можно найти величину ω_t, а используя выражение (22.81) и связь между временем переходного процесса t _пп и ω_n (22.23), найти величину t _пп . или наоборот, зная t _пп определить ω_р.

Применение рассмотренных связей между частотными и временными показателями качества для системы второго прядка позволяет при наличии сведений об одной из характеристик (частотной или временной) получить информацию о другой из них. В экспериментальных исследованиях это оказывается полезным, когда одна характеристика может быть получена, а другая нет.

Вместе с тем указанные зависимости распространяются и на системы более высоких порядков. Результаты при этом не будут настолько точны, однако могут оказаться вполне удовлетворительными с инженерной точки зрения. Здесь полезно вспомнить замечание о корнях характеристического уравнения системы: чем больше будут отличаться преобладающие корни системы (пара комплексных корней, ближайших к мнимой оси) от остальных корней, тем поведение системы высокого порядка будет больше соответствовать поведению системы второго порядка.