Анализ измерительных сигналов как случайных функций
Математическая модель процесса передачи измерительной информации представляет собой модель случайного процесса с плотностью вероятности . Полезные сигналы и сигналы помех, действующие на информационно- измерительную системы, являются случайными процессами, которые могут быть характеризованы статистическими средними значениями и характеристиками.
Случайный процесс является более сложным случайным явлением, чем случайная величина, но его определение можно дать через случайную величину. Функция (рис.4) называется случайным процессом, если ее мгновенные значения являются случайными величинами [36]. Также как и случайная величина не может характеризоваться отдельным значением, так и случайный процесс нельзя определить какой-то одной, пусть и сложной функцией. Случайный процесс представляет собой множество реализаций (функций времени) . Реализация xi(t) – фрагмент случайного процесса X(t), зафиксированный в результате i -го эксперимента ограниченной длительности T, следовательно, под реализацией понимают один из возможных исходов случайного процесса. Случайная величина , соответствующая i -й реализации и j -му моменту времени, является мгновенным (выборочным) значением - частным случаем случайного процесса, а вероятностные характеристики случайного процесса основаны на характеристиках случайных величин, входящих в этот процесс. Совокупность мгновенных значений, соответствующих значениям различных реализаций в один и тот же момент времени tj , называется j -ой последовательностью процесса X(t). При решении прикладных задач чаще обращаются к реализациям, чем к последовательностям.
|
|
Экспериментально ансамбль реализаций случайного процесса может быть получен в результате одновременной регистрации выходных параметров xi(t) на выходах однотипных объектов, например, измерительных приборов, в течение фиксированного интервала времени.
Если аргумент t изменяется непрерывно, зависимость X(t) представляет непрерывный случайный процесс (например, изменение погрешности измерительного прибора в течение длительного времени его работы), если аргумент t является дискретной величиной – случайную последовательность или временной ряд (массив результатов измерения погрешности в известные моменты времени). Процесс X(t), принимающий счетное ограниченное количество значений, называется дискретным случайным процессом (например, последовательность состояний работы оборудования информационно- измерительных систем или информационно- вычислительных комплексов) [37].
|
|
Определяя случайный процесс случайными величинами, находят вероятностные характеристики процессов, исходя из вероятностных характеристик этих величин.
Рис.4. Графическое изображение случайного процесса
Наиболее полно описывают случайный процесс интегральная функция распределения вероятности
и дифференциальная функция распределения вероятности
.
В функциях распределения вероятности случайных процессов, в отличие от многомерных функций распределения вероятности случайных величин к аргументам x i добавляются переменные tj, показывающие, в какие моменты времени сняты отсчеты.
Для приближенного описания случайных процессов, также как и для описания случайных величин используют такие числовые характеристики, как математическое ожидание, дисперсия и т.д. Причем, эти числовые характеристики также являются функциями времени.
Наиболее часто используемыми вероятностными характеристиками являются.
1.М атематическое ожидание ,
оценкой математического ожидания случайной функции является ее среднее значение .
2. Д исперсия – неслучайная функция
,
где - центрированный случайный процесс; значения дисперсии при каждом tj равны дисперсии случайной величины xi(tj).
Дисперсия случайной функции может быть найдена через дифференциальную функцию распределения вероятности случайной функции
;
Оценкой дисперсии является ее эмпирическое значение
.
Случайные процессы с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями могут существенно отличаться формой (рис.4).
3. Автокорреляционная функция характеризует статистическую связь между мгновенными значениями случайного процесса в различные моменты времени. Чем меньше значение автокорреляционной функции, тем в меньшей степени зависит значение измерительного сигнала в момент t1 от значения в момент t2.. Определяется одним из следующих соотношений [38]
,
где t 1, t 2 –фиксированные моменты времени, в которых определены сечения случайной функции.
Так как при t1=t2 , для одних и тех же сечений корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции.
Для каждой пары моментов времени автокорреляционная функция равна корреляционному моменту, статистическая оценка которого
,
В формулах, определяющих эмпирические оценки дисперсии и корреляционной функции, количество реализаций n уменьшается на единицу для получения несмещенной оценки;
4. Взаимно корреляционная функция определяет статистическую связь двух сигналов X(t) и Y(t +τ)
,
или
Изучение свойств случайных процессов с использованием корреляционных функций называют корреляционной теорией случайных процессов.
5. Спектральная плотность - неслучайная функция, устанавливающая плотность распределения его дисперсии по частоте ω, равна преобразованию Фурье соответствующей корреляционной функции
.
Корреляционная функция может быть выражена через спектральную плотность соотношением типа обратного преобразования Фурье .
Соотношения, позволяющие проводить преобразования спектральной плотности в корреляционную функцию и наоборот, носят название теоремы Хинчина- Винера.