Критерий Неймана-Моргенштерна

Допустим, что наилучшей может быть не одна, а несколько игрушек, среди которых нельзя назвать наилучшую. Это условие называется внутренней устоичивостью решения.

Потребуем, чтобы для каждой игрушки, не вошедшей в группу лучших, можно было найти хотя бы одну лучшую среди вошедших в группу лучших. Это условие называется внешней устойчивостью решения.

Множество решений, удовлетворяющих требованию внутренней и внешней устойчивости, называется оптимальным по Нейману-Моргенштерну или просто Н-М решением.

В рассмотренном выше примере Н-М решением будет пара рыбок СР, ЦР, так как:

· внутренняя устойчивость ЦР и СР выражается в соотношении 50/50;

· внешняя устойчивость выражается в том, что для не вошедших в группу лучших игрушек ЦПЦР, а СПСР. (ЦП/ЦР=40/60, а СП/СР=20/80).

Каждая игрушка вне множества Н-М (наилучших), взятая в отдельности, может быть лучше (предпочтительнее) каких либо отдельных игрушек из Н-М множества. Но всегда найдется такая игрушка в Н-М множестве, которая будет предпочтительнее ее.

Понятие Н-М множества можно проиллюстрировать в терминах графов. Например рассмотрим граф:

Определим Н-М множества, которые удовлетворяют внешним и внутренним условиям устойчивости. В данном примере это множество пусто. Если возьмем любую пару вершин, то в ней нет внутренней устойчивости, так как в паре есть предпочтение.

Н-М множество можно рассматривать как обобщение множества Парето на случай выбора лучших объектов по качественным критериям, на основе предпочтений, а не количественныхзначений критериев.