Выбор формы уравнения регрессии и оценка параметров множественной регрессии

Как и в парной зависимости, возможны разные виды уравнений множественной регрессии: линейные и нелинейные.

В линейной множественной регрессии параметры при х называются коэффициентами «чистой» регрессии.Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Стандартные компьютерные программы обработки регрессионного, анализа позволяют перебирать различные функции и выбрать ту из них, для которой остаточная дисперсия и ошибка аппроксимации минимальны, а коэффициент детерминации максимален.

Однако чем сложнее функция, тем менее интерпретируемы ее параметры.

Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются, как и в парной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК). При его применении строится система нормальных уравнений, решение которой и позволяет получить оценки параметров регрессии.

Так, для уравнения система нормальных уравнений составит:

Ее решение может быть осуществлено методом определителей:

,

где Δ – определитель системы;

Δ а, Δ b₁, …, Δ b_p – частные определители.

Возможен и иной подход к определению параметров множественной регрессии, когда на основе матрицы парных коэффициентов корреляции строится уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

,

где – стандартизованные переменные;

β – стандартизованные коэффициенты регрессии.

Применяя МНК к уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе, после соответствующих преобразований получим систему нормальных уравнений вида

Решая ее методом определителей, найдем параметры – стандартизованные коэффициенты регрессии (β -коэффициенты).

Расчет β -коэффициентов можно произвести по формулам(для двухфакторной модели):

Для построения уравнения в естественной форме параметры b₁ и b₂ рассчитываются по следующей формуле:

Стандартизованные коэффициенты регрессии β_i сравнимы между собой, т.е. сравнивая их друг с другом, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат. В этом основное достоинство стандартизованных коэффициентов регрессии в отличие от коэффициентов «чистой» регрессии, которые несравнимы между собой.

На основе линейного уравнения множественной регрессии

могут быть найдены частные уравнения регрессии, т. е. уравнения регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующими факторами x при закреплении других учитываемых во множественной регрессии факторов на среднем уровне. Частные уравнения регрессии имеют следующий вид:

;

;

………………………………………………………..

.

В отличие от парной регрессии частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние фактора на результат, так как другие факторы закреплены на неизменном уровне.

Линейные коэффициенты частной корреляции для двухфакторной модели:

Для фактора х₁:

Для фактора х₂:

Частные коэффициенты эластичности определяются по формуле