Нелинейная регрессия

Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии

Оценка существенности параметров линейной регрессии корреляции

После того, как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F – критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, при которой коэффициент регрессии равен нулю, т.е. b =0, и, следовательно, факторный показатель не оказывает влияния на результат.

Величина F – критерия связана с коэффициентом детерминации следующим образом

Вычисленное значение F – отношения признается достоверным, если оно больше табличного. В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи. Если фактическое значение меньше табличного, то уравнение регрессии считается статистически незначимым и нулевая гипотеза не отклоняется.

Оценка статистической значимости параметров регрессии проводится с помощью t – статистики Стьюдента и доверительных интервалов для каждого показателя.

Для этого выдвигается нулевая гипотеза о статистической незначимости показателей, т.е..

Затем определяются случайные ошибки параметров ma, mb и коэффициента корреляции mr.

где m_a – ошибка параметра а;

S – стандартная ошибка регрессии.

Ошибка параметра b определяется:

Ошибка коэффициента корреляции:

Затем вычисляется значение t – критерия Стьюдента:

;;.

Если фактическое значение больше табличного, то нулевая гипотеза отклоняется и значение a, b, r_xy являются статистически значимыми.

Рассчитывается доверительный интервал для параметров уравнения регрессии, в которых a и b не примут нулевых значений, т.е. не будут статистически незначимы.

Для этого определяют предельную ошибку для каждого параметра:

,

где t_таб – табличное значение t – критерия Стьюдента.

Доверительные интервалы:

.

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое значение как точечный прогноз, т. е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения х. Однако точечный прогноз не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки и интервальной оценкой прогнозного значения

Стандартная ошибка предсказываемого по линии регрессии значения определяется по формуле

S – стандартная ошибка

х_р – прогнозное значение факторного показателя

Предельная ошибка прогноза при заданном уровне значимости равна

Если между экономическими явлениями существует нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций: например, равносторонней гиперболы, параболы второй степени и др.

Различают два класса нелинейных регрессий:

- регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

- регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:

- полиномы разных степеней -;

- равносторонняя гипербола -.

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

- степенная y=a*x^b*e;

- показательная y= a*b^x*e;

- экспоненциальная

Рассмотрим основные показатели для нелинейных функций.