Критерий Дарбина-Уотсона

Метод рядов

Обнаружение автокорреляции

Суть автокорреляции

Одна из предпосылок МНК – это независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Автокорреляция (последовательная корреляция) – это корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается при использовании данных временных рядов. Последствия автокорреляции в определенной степени сходны с последствиями гетероскедастичности.

Нам неизвестны истинные значения отклонений ε_i = 1,..., п. Поэтому выводы об их независимости делаются на основе оценок ε_i = 1,..., п. При этом обычно проверяется их некоррелированность, являющаяся необходимым, но недостаточным условием независимости. Проверяется некоррелированность только соседних величин e_i. При наличии автокорреляции остатков полученное уравнение регрессии считается неудовлетворительным.

Рассмотрим возможные методы определения автокорреляции и способы ее устранения.

Определяются знаки отклонений e_i. Ряд – это непрерывная последовательность одинаковых знаков. Длина ряда – это количество знаков в ряду, п – число наблюдений, п₁ – общее количество знаков «+», п₂ – общее количество знаков «–», k – количество рядов. Доверительная вероятность р = 0,95, уровень значимости α = 1 – р = 1 – 0,95 = 0,05.

Для небольшого числа наблюдений (п₁ < 20, п₂ < 20) из специальных таблиц Сведа-Эйзенхарта по п₁, п₂ и α = 0,05 находят числа k₁ и k₂. Если k₁ < k < k₂, то автокорреляция отсутствует. Если k ≤ k₁, то говорят о положительной автокорреляции остатков. Если k ≥ k₂, то говорят об отрицательной автокорреляции остатков(за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот).

Пример. Определим наличие автокорреляции методом рядов.

еi	8,3	4,26	-12,46	-1,86	-7,38	5,26	-9,66	-2,26	8,34	7,46
знак	+	+	-	-	-	+	-	-	+	+

Последовательность знаков указана во второй строке. У нас п₁ = 5 (5 плюсов), п₂ = 5 (5 минусов), k = 5 (5 рядов). Из специальных таблиц Сведа-Эйзенхарта по п₁, п₂ и α = 0,05 находим числа k₁ = 2 и k₂ = 10. Так как k₁ < k < k₂ (2 < 5 < 10), то автокорреляция отсутствует.

Это наиболее известный способ обнаружения автокорреляции первого порядка. Пусть п – число наблюдений, т – число факторов модели, уровень значимости α – 0,05. Для п, т, αпо таблицам распределения Дарбина-Уотсона находим числа d_l и d_u.

Статистика Дарбина-Уотсона.

Если DW < d_l, то это свидетельствует о положительной автокорреляции остатков. Если DW > 4 – d_l, то это свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков. При d_u <DW < 4 – d_u гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков принимается. Если d_l < DW < d_u или 4 – d_u < DW < 4 – d_l, то гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков не может быть ни принята, ни отвергнута.

Ограничения при использовании критерия Дарбина-Уотсона:

1) β₀ ≠ 0;

2)случайные отклонения определяются по авторегрессионной схеме первого порядка AR(1), то есть, где υ_i – случайный член;

3)статистические данные должны иметь одинаковую периодичность (не должно быть пропусков в наблюдениях);

4) среди факторов не должно быть лаговых переменных (то есть переменных, влияние которых характеризуется определенным запаздыванием).

Пример. Определим наличие автокорреляции с помощью критерия Дарбина-Уотсона (таблица 5).

Таблица 5 – Расчетные данные по критерию Дарбина-Уотсона_

Номер	ei	ei – еi-1	(ei – еi-1)2
	8,3
	4,26	-4,04	16,32
	-12,46	-16,72	279,56
	-1,86	10,6	112,36
	-7,38	-5,52	30,47
	5,26	12,64	159,77
	-9,66	-14,92	222,61
	-2,26	7,4	54,76
	8,34	10,6	112,36
	7,46	-0,88	0,77
Сумма			988,98

Заполняем таблицу. Из каждого числа 2-го столбца вычитаем предыдущее число. 2-го столбца и результат пишем в 3-м столбце. В 4-м столбце числа округляем до двух знаков после запятой. Статистика Дарбина-Уотсона:

По таблице распределения Дарбина-Уотсона находим d_l = 0,697 и d_u = 1,641. Тогда 4 – d_u = 4 – 1,641 = 2,359.

Так как d_u < DW < 4 – d_u (1,641 < 1,793 < 2,359), то гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков не отклоняется на уровне значимости 0,05. Это является одним из подтверждений высокого качества модели.