Д оказательство

Доказательство

Д оказательство

Основные правила дифференцирования

Производные некоторых элементарных функций

Пусть функция y = f (x) определена на некотором промежутке X, x ₀Î X и f (x) дифференцируема в точке x ₀, т.е. производная существует.

Для одной и той же функции f (x) производную можно вычислять в различных точках x, и ее значения будут зависеть от x, т.е. производная (x) будет функцией от x, ее называют производной функцией от функции f (x). Нахождение производной функции называют дифференцированием функции f (x).

Итак, производная функция от функции f (x) по определению:

Для того чтобы научиться дифференцировать функции, надо знать производные основных элементарных функций и правила дифференцирования. Выведем производные некоторых элементарных функций.

1.
f (x) = с – постоянное число.

Итак, (c) ' = 0.

2.
f (x) = x:

Получили: (x) ' = 1.

3.


:

.

Таким образом,.

4.
:

.

5.
f(x) = sinx:

Значит, (sin x) ' = cos x

6.
Аналогично доказывается, что (cosx)' = –sinx.

Для дальнейшего изложения вычислим два вспомогательных предела, а именно:

,

используя для этого второй замечательный предел и непрерывность функций log _ax и a^x.

Первый предел:

Таким образом,.

Для вычисления второго предела введем новую переменную: z = a^y – 1, тогда
a^y = z + 1, откуда y = log _a (z + 1). Если y 0, то® z 0, следовательно,®

, т.е..

7.:

.

Значит, В частности,.

8. Убедимся, что (a^x) ' = a^x ln a:

При a = e, получаем: (e^x) ' = e^x.

Производные для других элементарных функций мы вычислим в следующих разделах.

^

Установим правила, по которым можно находить производные суммы, произведения, частного двух функций, производную сложной функции, зная производные этих функций, а также производную обратнгой функции.

Теорема 1. Если функции u (x), v (x) дифференцируемы в точке x, то их сумма дифференцируема в этой точке, причем

(u (x) + v (x)) ' = u' (x)+ v' (x).

Теорема 2. Если функции u (x), v (x) дифференцируемы в точке x, то их произведение дифференцируемо в этой точке, причем

(u (x) v (x)) ' = u' (x) v (x) + u (x) v' (x).

Так как Du = u (x + Dx) – u (x), то u (x + Dx) = u (x) + Du.

А
налогично, v (x + Dx) = v (x) + Dv.

С
ледствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е.

(C × f (x)) ' = C × (x).

Доказательство. Пусть C – постоянное число, тогда (C) ' = 0. По теореме 2:

(C × f (x)) ' = (C) ' × f (x) + C × (x ×) = 0 f (x) + C × (x) = C × (x).

В частности, (u (x) – v (x)) ' = (u (x ×) + (–1) v (x)) ' = u' (x ×) + (–1) v' (x) = u' (x) – v' (x),
т.е. (u (x) – v (x)) ' = u' (x) – v' (x) (производная разности двух функций равна разности их производных).

Теорема 3. Если функции u (x), v (x) дифференцируемы в точке x и v (x 0, то их частное дифференцируемо в этой точке, причем¹)

З
аметим, что, так как v (x) дифференцируема в точке x, а, следовательно, непрерывна в точке x, то. Тогда:

С помощью теоремы 3 можно вычислить производные функций tg x и ctg x:

И
так, получили формулу:.

Производная для ctg x находится аналогично (сделайте это):

Пусть y = f (j (x)) является сложной функцией, составленной из функции
y = f (u), u = j (x), где u – промежуточный аргумент. Покажем, как найти производную сложной функции, зная производную для функции y = f (u) (ее будем обозначать через) и производную для функции u = j (x).

Теорема 4. Если функция u = j (x) имеет производную в точке x, а функция
y = f (u) имеет производную в точке u (u = j (x)), то сложная функция y = f (j (x)) в точке x имеет производную, причем =.

Иначе, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.

Д
оказательство. Функция u = j (x) дифференцируема в точке x, поэтому непрерывна в этой точке, т.е. D(будем предполагать, что u 0), тогда ¹

С
помощью теоремы 4 найдем производную степенной функции y = x^a, где
a – постоянное число. По свойствам логарифмов x^a = (e ^{ln x} ) ^a = e^{a ln x} , поэтому x^a = e^{a ln x} является сложной функцией от x: y = e^u, u = a ln x. По теореме 4:

Итак, получена формула: (x^a) ' = ax^{a – 1}.

Очевидно, производные функций (найденные в разд. 2.2), могут быть вычислены по полученной формуле. В самом деле, например, для функции имеем:

Введем правило для нахождения производной обратной функции.

Теорема 5. Пусть функция y = f (x) определена на промежутке X, непрерывна, монотонна (возрастает или убывает) и дифференцируема на X. Если ее производная в точке x не равна 0, то обратная функция x = j (y) имеет производную в точке y
(y = f (x)), причем

Доказательство. Функция y = f (x) определена, непрерывна и монотонна на промежутке X, тогда по теореме 4 (разд. 1.13) она имеет обратную функцию x = j (y), определенную, непрерывную и монотонную на промежутке Y.

Если значение аргумента y получает приращение Dy, отличное от нуля, то в силу монотонности функции x = j (y) функция x получает приращение Dx и Dx 0. В силу непрерывности функции¹ x = j (y):.

Следовательно,

Итак, Теорема доказана.

2-3