Как найти предел знакочередующейся последовательности?
Такая последовательность уже неоднократно встречалась в статье, например, первая скрипка теоретического параграфа.
Действительно, как аналитически найти предел знакочередующейся последовательности, если знак то «плюс», то «минус»?
И я, наконец-то, заряжаю в свой револьвер тот самый волшебный патрон:
Пример 13
Найти предел последовательности
Решение: на первом шаге следует найти предел последовательности, которая составлена из модулей членов. Знак модуля уничтожает возможный минус, поэтому чтобы получить, нужно попросту убрать множитель, обеспечивающий знакочередование. Чаще всего это «мигалка»:
Теперь как ни в чём не бывало, вымучиваем наш обычный предел:
Получено конечное число. Очевидно, что знакочередование не поменяет сути – члены последовательности будут «прыгать» вокруг своего предела, бесконечно близко приближаясь к нему. Собственно, это проиллюстрировано на единственном рисунке данного урока.
Ситуация принципиально такая же, как, например, у более простых последовательностей.
Ответ: так как последовательность является знакочередующейся и, то.
Если в ходе исследования знакочередующейся последовательности получен бесконечный результат (или если предела нет), то у последовательности предела не существует вообще. Такой инцидент напоминает историю с.
Наше увлекательное путешествие в мир последовательностей подошло к концу и, надеюсь, оно составило достойную конкуренцию Вконтакте =) =) =)
Успехов в учёбе!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Найдём предел последовательности:
Используем формулу суммы первых членов арифметической прогрессии.
В данном случае
Пример 4: Решение:
Пример 6: Решение:
Пример 8: Решение:
Пример 10: Решение: последовательность – ограничена:, а последовательность, значит, по соответствующей теореме:
Пример 12: Решение:
Заменим бесконечно малую эквивалентной: при.
В данном примере.
2-3
Производной от функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
, или.
Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х, то есть.
Производная есть скорость изменения функции в точке х.
Отыскание производной называется дифференцированием функции.
Формулы дифференцирования основных функций:
Пусть, тогда:
7) Если, то есть, где и имеют производные, то (правило дифференцирования сложной функции).
Примеры: