Декартово произведение множеств. Операции над множествами

Операции над множествами

Множества

Глава 1. Элементы теории множеств

Наиболее простая структура данных, используемая в математике, имеет место в случае, когда между отдельными изолированными данными отсутствуют какие-либо взаимосвязи. Совокупность таких данных представляет собой множество. Понятие множества является неопределяемым понятием. Множество не обладает внутренней структурой. Множество можно представить себе как совокупность элементов, обладающих некоторым общим свойством. Для того чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
Должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности.
Должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга. (Это, в частности, означает, что множество не может содержать двух одинаковых элементов).
Множества обычно обозначаются заглавными латинскими буквами. Если элемент принадлежит множеству, то это обозначается:

Если каждый элемент множества является также и элементом множества, то говорят, что множество является подмножеством множества:

Подмножество множества называется собственным подмножеством, если

Используя понятие множества можно построить более сложные и содержательные объекты.

Основными операциями над множествами являются объединение, пересечение и разность.
Определение 1. Объединением двух множеств называется новое множество

Определение 2. Пересечением двух множеств называется новое множество

Определение 3. Разностью двух множеств называется новое множество

Если класс объектов, на которых определяются различные множества обозначить (Универсум), то дополнением множества называют разность

Одним из способов конструирования новых объектов из уже имеющихся множеств является декартово произведение множеств.
Пусть и - множества. Выражение вида, где и, называется упорядоченной парой. Равенство вида означает, что и. В общем случае, можно рассматривать упорядоченную n-ку из элементов. Упорядоченные n-ки иначе называют наборы или кортежи.
Определение 4. Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество упорядоченных n-ок (наборов, кортежей) вида

Определение 5. Степенью декартового произведения называется число множеств n, входящих в это декартово произведение.
Замечание. Если все множества одинаковы, то используют обозначение
.