Лекция №14. Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование иррациональных функций.

Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

1⁰. Пусть функция R(sinx,cosx) есть рациональная функция относительно sinx, cosx. Тогда интеграл рационализируется с помощью универсальной тригонометрической подстановки

=

Универсальная тригонометрическая подстановка приводит часто к сложным рациональным функциям. Поэтому в ряде случаев более удобны другие подстановки:

а) функция R(sinx.cosx) есть нечетная функция относительно sinx. Применяется подстановка t=cosx.

б) функция R(sinx.cosx) есть нечетная функция относительно cosx. Применяется подстановка t=sinx

в) функция R(sinx.cosx) есть четная функция относительно sinx и cosx.

Применяется подстановка t=tgx.

2⁰. Рассмотрим интегралы вида

а) Если хотя бы одно из чисел m или n –положительное нечетное число, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы полученную четную степень через дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу.

б) Если же m и n четные неотрицательные числа, то степени понижаются с помощью тригонометрических формул:

3⁰. Интегралы вида

преобразуются к табличным интегралам с помощью формул

Основным приемом для нахождения неопределенных интегралов от иррациональных функций является рационализация подынтегральной функции с помощью замены переменной интегрирования. В зависимости от вида подынтегральной функции применяются различные подстановки.

1) Функция R является рациональной относительно указанных величин. Подынтегральная функция рационализируется с помощью подстановки., где N – наименьшее общее кратное чисел { k, l, …, m)

2) Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

Интеграл вида рационализируется с помощью подстановки.

3) Нахождение интегралов вида

,

где R – рациональная функция двух аргументов, производится с помощью тригонометрических подстановок следующим образом. Выделением полного квадрата в квадратном трехчлене с последующей заменой переменной исходный интеграл приводится (в зависимости от знака а и дискриминанта квадратного трехчлена) к интегралу одного из следующих трех типов:

1) применяется подстановка;

2), применяется подстановка;

3), применяется подстановка

Примеры. Найти интегралы.

1)

Старший преподаватель Невердовский В.Г.

Тема: «Определенный интеграл и его свойства. Вычисление определенного интеграла»

Цель лекции: Изучить основные понятия интегрального исчисления: понятия определенного интеграла, его основные свойства. Овладеть методами вычисления определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница, а также с помощью метода замены переменной и интегрирования по частям.