Вычисление площади плоской фигуры в декартовой системе координат

Вычисление площадей плоских фигур.

Основные вопросы.

Лекция № 15

Решение.

Пример..

Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Примеры.

1)

2)

Теорема. Пусть дан интеграл, где функция f(x) непрерывна на сегменте [ a,b ]. Введем новую переменную интегрирования которая удовлетворяет условиям:

1) и

2) непрерывны на. Тогда

Доказательство. Пусть F(x) есть первообразная для f(x). Тогда

Первое тождество интегрируем по х,, второе – по t,. Будем иметь

Правые части полученных выражений равны, следовательно, равны и левые.

Пример. Вычислить интеграл.

И нтегрирование по частям. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на [ a,b ], тогда имеет место формула

которая называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример. Вычислить

Тема: Геометрические и физические приложения определенных интегралов

Цель лекции: Изучить применение определенных интегралов к решению конкретных геометрических и физических задач. Овладеть общей схемой применения определенного интеграла к решению конкретных задач.

1. Вычисление площадей плоских фигур.

2. Вычисление объемов тел.

3. Вычисление длин плоских кривых.

4. Вычисление массы плоской кривой.

5. Вычисление моментов и координат центра тяжести плоской кривой.

Литература:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.т.1 гл. ХI §1-6.

2. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник. Алматы. 2003.

3. Невердовский В.Г. Сборник задач по высшей математике. Часть 2. Основы математического анализа. Алматы. Академия ГА. 2007.

Краткое содержание лекции.

Плоской фигурой будем называть любое ограниченное множество точек плоскости.

Если на сегменте [ a,b ] непрерывная функция f(x) ³, то, как известно, площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью O х и прямыми х = а и x = b, равна определенному интегралу

.

Пусть теперь плоская фигура, представляет собой часть плоскости,

() и двумя отрезками прямых x = a, x = b (отрезки прямых могут вырождаться в точку

y

О ab x

Учитывая, что любую фигуру на плоскости можно представить в виде суммы

и (или) разности криволинейных трапеций, будем иметь формулу

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вычисление площади плоской фигуры в случае параметрического задания ее границы.

Пусть граница плоской фигуры D простая замкнутая кривая, заданная параметрическими уравнениями причем точка при изменении t от 0 до Т пробегает границу фигуры D так, что область D остается слева от движущейся точки. Тогда площадь фигуры D может быть вычислена по одной из следующих формул: