Основные свойства определенного интеграла

Интегральная сумма. Определенный интеграл.

Основные вопросы.

1. Интегральная сумма. Определенный интеграл.

2. Основные свойства определенного интеграла.

3. Формула Ньютона-Лейбница.

4. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Литература:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.т.1 гл. ХI §1-6.

2. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник. Алматы. 2003.

3. Невердовский В.Г. Сборник задач по высшей математике. Часть 2. Основы математического анализа. Алматы. Академия ГА. 2007.

Краткое содержание лекции.

Пусть функция f(x) определена на сегменте [ a,b ] (где а<b). Выполним следующие действия.

1. Сегмент [ a,b ] разобьем точками на n частичных сегментов. Длину каждого частичного сегмента обозначим

2. Выберем в каждом сегменте произвольную точку, вычислим значение функции в этой точке и составим сумму

Число называется интегральной суммой функции f(x), которая зависит от способа разбиения сегмента [ a,b ] на части и выбора промежуточных точек. Обозначим и дадим определение.

Определение. Если существует предел интегральной суммы при n ® ¥ и l® 0, не зависящий от способа разбиения сегмента [ a,b ] на части и выбора промежуточных точек, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по сегменту [ a,b ] и обозначается следующим образом:

Таким образом,

.

Числа a и b называются соответственно нижней и верхней границами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования.

Функция f(x) называетсяинтегрируемой на сегменте [ a,b ], если для нее существует определенный интеграл.

Теорема существования определенного интеграла.

Всякая непрерывная на сегменте [ a,b ] функция интегрируема на этом сегменте.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x), где f(x) ³ 0 для всех х Î[ a,b ], численно равна определенному интегралу от функции f(x), взятому по сегменту [ a,b ].

1. По определению,

2. По определению, =

3. Линейность определенного интеграла. Если и интегрируемы на [ a,b ], - любые действительные числа, то функция также интегрируема на [ a,b ], причем

4. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на сегменте [ a,b ] и

f(x) ³ g(x) " x Î [ a,b ], то

5. Аддитивность интеграла. Если функция f(x) интегрируема на [ a,c ] и [ c,b ], то она интегрируема также на [ a,b ], причем

6. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на [ a,b ], то на этом сегменте найдется такая точка x, что будет справедливо равенство:

.

3. Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть функция f(x) интегрируема на сегменте [ a,b ]. Функция

называется интегралом с переменным верхним пределом. Имеет место

Теорема. Интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для функции f(x).

Вычисление определенного интеграла, как предела интегральных сумм, сложно даже для простейших функций. Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу позволяет установить простой метод вычисления определенного интеграла без получения интегральных сумм и перехода к пределу. Этот метод заключается в использовании какой-либо первообразной для данной функции и выражается формулой Ньютона-Лейбница.

где F(x) есть какая-либо первообразная для подынтегральной функции f(x).

Действительно, пусть F(x) есть какая-нибудь первообразная для f(x). Учитывая, что интеграл с переменным верхним пределом также есть первообразная и две первообразные отличаются друг от друга на постоянное слагаемое С, будем иметь

Для определения постоянной С положим x = a. Тогда. Отсюда C = -F(a). В выражении положим x = b. Получим

Так как значение определенного интеграла не зависит от переменной интегрирования, то заменяя t на х, получим окончательный вид формулы Ньютона-Лейбница