2014-02-24
626
Литература
Основные вопросы.
1. Основные понятия и определения дифференциальных уравнений первого порядка.
2. Виды дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решений.
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- М. Наука,1985 –Т.1. – 456с.
2. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник – Алматы,2003 – 686с.
3. Байбазаров М.Б., Байтуреев К.Т., Невердовский В.Г. Дифференциальные уравнения. Сборник задач по высшей математике. – Алматы,2012–110с.
Краткое содержание.
Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=j(x) и ее производные Дифференциальное уравнение записывается в виде
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=j(x) и ее производную (2)
и любого частного решения данного неоднородного уравнения.
|
|
|
.
В случае уравнения с постоянными коэффициентами с правыми частями специального вида, частное решение можно найти, не прибегая к интегрированию (метод неопределённых коэффициентов). Рассмотрим несколько таких возможностей для уравнения (1).
1. Правая часть уравнения (1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т.е. имеет вид
, (3)
где - многочлен n -ой степени. Тогда возможны следующие частные случаи:
a) число не является корнемхарактеристического уравнения
.
В этом случае частное решение нужно искать в виде
, (4)
где -многочлен степени n, с неизвестными коэффициентами. Чтобы найти коэффициенты многочлена, искомое частное решение (4) подставляют в левую часть уравнения (1) и производят соответствующие упрощения. В полученном тождестве приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (число неизвестных коэффициентов равно (n +1)), получим систему (n +1) уравнений для определения неизвестных коэффициентов.
б) число является корнем характеристического уравнения кратности r, r= 1,2. (.
В этом случае частное решение следует искать в виде
(5)
Пример 1. Найти общее решение уравнения
Решение. По теореме о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения будем иметь
.
Запишем соответствующее однородное уравнение
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
Запишем общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Так как правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид и число = k 1является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде
.
Для определения неизвестных коэффициентов подставим предполагаемое решение и его производные в уравнение. Будем иметь:
|
|
|
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:
Следовательно, частное решение будет
.
Общее решение имеет вид
.
Пример 2. Найти общее решение уравнения
Решение. По теореме о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения будем иметь
Запишем соответствующее однородное уравнение
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
Запишем общее решение соответствующего однородного уравнения
Будем искать частное решение данного неоднородного уравнения. Правая часть уравнения имеет вид
Так как правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид и число a = 1 является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение у* будем искать в виде
Для определения неизвестных коэффициентов А и В подставим предполагаемое решение и его производные в уравнение. После приведения подобных членов и сокращения на, будем иметь
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим
Следовательно, частное решение имеет вид
Таким образом, общее решение данного уравнения будет
2. Пусть правая часть имеет вид
(6)
где P (x) и Q (x) – многочлены от х. Тогда вид частного решения определяется следующим образом:
а) если число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения(1) ищем в виде
, (7)
где U (x) и V (x)- многочлены с неопределенными коэффициентами, степень которых равна наивысшей степени многочленов и;
б) если число есть корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде
, (8)
где U (x) и V (x)- многочлены с неопределенными коэффициентами, степень которых равна наивысшей степени многочленов и;
Указанные формы частных решений (7) и (8), сохраняются и в этом случае, когда в правой части уравнения (6) один из многочленов и тождественно равен нулю, т.е. когда первая часть имеет вид
или.
Рассмотрим важный частный случай, когда правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид
(9)
где M, N - постоянные числа.
а) Если i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде
. (10)
б) Если i является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде
. (11)
Пример 3. Найти общее решение уравнения
Решение. По теореме о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения будем иметь
Запишем соответствующее однородное уравнение
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
Запишем общее решение соответствующего однородного уравнения
Будем искать частное решение данного неоднородного уравнения. Правая часть уравнения имеет вид
Сравнивая ее с общей формой правой части, замечаем, что число bi = 1 i не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение у* будем искать в виде
Для определения неизвестных коэффициентов А и В подставим предполагаемое решение и его производные в уравнение.
Группируя и приводя подобные члены, будем иметь
Полученное равенство является тождеством. Поэтому коэффициенты при cosx и sinx в левой и правой частях равенства должны быть равны. Приравнивая эти коэффициенты, получаем систему уравнений для определения А и В
Таким образом, частное решение имеет вид
а общее решение уравнения
