ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин, имеющих равномерное, показательное, нормальное и гамма-распределение.
Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на участке от до, если ее плотность распределения на этом участке постоянна:
(4.24)
В дальнейшем для непрерывных случайных величин выражение для плотности записывается только для тех участков, где она отлична от нуля:
.
Рис. 4.19. Кривая равномерного распределения |
mX |
.
Этот же результат можно получить, вычисляя интеграл вида
.
Дисперсия и среднее квадратичное отклонение равны:
;
.
Моды равномерное распределение не имеет. Медиана равна математическому ожиданию, так как равномерное распределение симметрично относительно математического ожидания. Из этого же свойства следует, что третий центральный момент тоже равен нулю ().
|
|
Для определения эксцесса вычислим четвертый центральный момент:
.
Таким образом, эксцесс случайной величины равен
.
Рис. 4.20. Вероятность попадания на участок |
Рис. 4.21. Функция распределения |
Вычислить вероятность попадания случайной величины на любую часть участка можно путем геометрических представлений (см. рис. 4.20):
.
Функция распределения является функцией, линейно взрастающей от нуля до единицы, при изменении аргумента от до. При любом функция распределения равна площади, ограниченной кривой распределения и лежащей левее точки (см. рис. 4.20).
.
Моделью равномерного распределения является гармоническое колебание со случайной начальной фазой
,
где – частота, а начальная фаза является непрерывной случайной величиной с равномерным законом распределения:
.
Показательное распределение
Непрерывная случайная величина имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если ее плотность распределения имеет вид
,
или
, (4.25)
где – единственный параметр распределения.
Функция распределения:
. (4.26)
Рис. 4.22. Плотность распределения |
Рис. 4.23. Функция распределения |
|
|
. (4.27)
При интегрировании по частям необходимо учесть, что при стремится к нулю быстрее, чем возрастает любая степень.
Выражение (4.27) показывает, что математическое ожидание случайной величины, имеющей показательное распределение, обратно его параметру. При этом параметр имеет размерность, обратную размерности случайной величины.
Дисперсия и среднее квадратичное отклонение:
,. (4.28)
Среднее квадратичное отклонение случайной величины, распределенной по показательному закону, равно ее математическому ожиданию.
Третий центральный момент:
,
и соответственно коэффициент асимметрии
.
Следовало ожидать, что асимметрия показательного распределения будет положительной.
Показательное распределение связано с простейшим потоком событий. Покажем, что интервал времени между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока, т. е.
.
Для этого найдем функцию распределения случайной величины – интервала времени между соседними событиями в потоке:
.
t |
Рис. 4.24. Случайная величина Т |
,
где вероятность для пуассоновского потока равна,
откуда функция распределения будет иметь вид
,
после дифференцирования которой получаем искомую плотность распределения
.
Показательное распределение широко используется в теории марковских случайных процессов, теории массового обслуживания и теории надежности.
Нормальное распределение
Случайная величина распределена по нормальному (гауссовому) закону с параметрами и, если ее плотность распределения имеет вид
. (4.29)
m |
Рис. 4.25. Кривая нормального распределения |
Вычислим основные характеристики случайной величины, распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание
.
Сделаем замену переменной интегрирования
(4.30)
и получим
.
Первый из интегралов равен нулю, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции; второй – это известный интеграл Эйлера – Пуассона
.
Таким образом, математическое ожидание нормального распределения
(4.31)
совпадает с параметром распределения. Иногда называют центром рассеивания случайной величины.
Дисперсия гауссовой случайной величины
.
Используя замену переменной (4.30), получаем
.
Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю, так как при быстрее, чем возрастает. Второе слагаемое равно.
Таким образом, дисперсия
. (4.32)
Значит, параметр распределения есть не что иное, как среднее квадратичное отклонение гауссовой случайной величины:
.
Размерности и совпадают с размерностью случайной величины.
Положение кривой распределения и ее форма полностью определяются параметрами и.
Вычислим моменты нормальной случайной величины. Так, -й центральный момент будет
.
После замены переменой (4.30) получаем
. (4.33)
Естественно, что при любом нечетном, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции. Для четных:
.
Первый член в фигурных скобках равен нулю, и поэтому получаем
. (4.34)
Подставим в формулу (4.33) вместо:
. (4.35)
Сравнение выражений (4.35) и (4.34) показывает, что эти формулы различаются только множителем. Следовательно,
.
Получено простое рекуррентное соотношение, позволяющее выражать центральные моменты более высоких порядков через центральные моменты более низких порядков. Если учесть, что для любой случайной величины, то получаем;;.
|
|
Эксцесс нормального распределения равен нулю:
.
Вероятность попадания случайной величины на участок от до определятся следующим образом:
, (4.36)
где – функция Лапласа.
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения гауссовой случайной величины от своего математического ожидания окажется меньше любого, равна
. (4.37)
Если в выражении (4.36) положить, и учесть, что, то получаем функцию распределения нормальной случайной величины в виде
. (4.38)
Модель нормального распределения. Складывается большое количество независимых случайных величин
Рис. 4.26. Функция распределения нормальной случайной величины |
x |
m |
при этом предполагается, что каждая из сравнима по степени своего влияния на рассеивание суммарной случайной величины. Закон распределения суммы этих случайных величин (случайной величины) будет тем ближе к нормальному, чем больше число слагаемых, вне зависимости от того, какие законы распределения имеют отдельные величины. Таково содержание центральной предельной теоремы теории вероятностей.
Гамма-распределение и распределение Эрланга
Неотрицательная случайная величина имеет гамма-распределение, если ее плотность распределения выражается формулой
, (4.39)
где – параметры распределения; – гамма-функция
, (4.40)
которая обладает следующими свойствами:
. (4.41)
Для целых неотрицательных получаем
.
Математическое ожидание случайной величины, подчиняющейся гамма-распределению,
.
Учитывая свойства (4.41), окончательно получаем
. (4.42)
Второй начальный момент находим по формуле
,
откуда дисперсия
. (4.43)
При гамма-распределение превращается в показательное с параметром, так как
.
При целых и бóльших единицы гамма-распределение превращается в распределение Эрланга k -го порядка:
. (4.44)
Закон распределения Эрланга k -го порядка тесно связан со стационарным пуассоновским потоком с интенсивностью.
Модель распределения Эрланга k -го порядка. Складывается независимых случайных величин, каждая из которых подчиняется показательному закону с одним и тем же параметром. В этом случае суммарная случайная величина имеет распределение Эрланга k -го порядка.
|
|