Закон распределения и числовые характеристики функций случайных величин

Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ЧАСТЬ 6

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих при этом задач; вывести закон распределения функции одного случайного аргумента и закон распределения суммы двух случайных величин; пояснить понятие композиции законов распределения.

Понятие о функции случайной величины

Среди практических приложений теории вероятностей особое место занимают задачи, требующие нахождения законов распределения и/или числовых характеристик функций случайных величин. В простейшем случае задача ставится следующим образом: на вход технического устройства поступает случайное воздействие; устройство подвергает воздействие некоторому функциональному преобразованию и на выходе дает случайную величину (см. рис. 6.1). Нам известен закон распределения случайной величины, и требуется найти закон распределения и/или числовые характеристики случайной величины.

X 2

X 1

X n

Рис. 6.1. Функции случайных величин

X 2

X 1

X n

Y 1

Y 2

Y n

Можно выделить три основные возникающие задачи:

1. Зная закон распределения случайной величины (или случайного вектора), найти закон распределения выходной случайной величины (или).

2. Зная закон распределения случайной величины, найти только числовые характеристики выходной случайной величины.

3. В некоторых случаях (при особых видах преобразования) для нахождения числовых характеристик выхода не требуется знать закон распределения входной случайной величины, а достаточно знать только его числовые характеристики.

Рассматриваем случайную величину, зависящую функционально от случайной величины, т. е.. Пусть случайная величина дискретна и известен ее ряд распределения:

Х:			…		…
		…		…		,

,

где.

При подаче на вход значения случайной величины на выходе получим с вероятностью. И так для всех возможных значений случайной величины. Таким образом, получаем табл. 6.1.

Таблица 6.1

		…		…
		…		…

Полученная табл. 6.1 в общем случае может не быть рядом распределения случайной величины, так как значения в верхней строке таблицы могут быть расположены в невозрастающем порядке, а некоторые могут даже совпадать.

Для преобразования табл. 6.1 в ряд распределения случайной величины необходимо упорядочить возможные значения по возрастанию, а вероятности совпадающих значений нужно сложить.

Для нахождения числовых характеристик случайной величины преобразовывать (6.1) в ряд распределения нет необходимости, так как их можно вычислить по таблице (6.1). Действительно, находя сумму произведений возможных значений случайной величины на их вероятности, получаем

. (6.1)

Таким образом, зная только закон распределения аргумента, можно найти математическое ожидание функции случайной величины.

Аналогично находим дисперсию случайной величины:

.

Аналогично определяем начальные и центральные моменты любых порядков случайной величины:

.

Для непрерывной случайной величины, имеющей плотность распределения, получаем

;

;

.

Видим, что для нахождения числовых характеристик функции вовсе не нужно знать ее закон распределения – достаточно знания закона распределения аргумента.

Теоремы о числовых характеристиках
функций случайных величин

В некоторых задачах числовые характеристики системы случайных величин можно определить как функции числовых характеристик системы случайных величин. В этом случае не требуется даже знание закона распределения аргумента, например совместную плотность распределения, а достаточно иметь только числовые характеристики этой системы случайных величин. Для решения таких задач сформулированы следующие теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин:

1., 3.,

2., 4.,

где – неслучайная величина.

5. для любого числа слагаемых, как независимых, так и зависимых, коррелированных и некоррелированных.

6. Математическое ожидание от линейной комбинации случайных величин равно той же линейной функции от математических ожиданий рассматриваемых случайных величин:

.

7. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме всех элементов корреляционной матрицы этих случайных величин

.

Так как корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали, на которой находятся дисперсии, то последнюю формулу перепишем в виде

.

Если случайные величины не коррелированы, то справедлива теорема о сложении дисперсий:

.

8. Дисперсия линейной функции случайных величин определяется по формуле

.

9. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению математических ожиданий плюс ковариация

.

Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий

.

10. Дисперсия произведения независимых случайных величин выражается формулой

Если случайные величины независимые и центрированные, получаем

.

Закон распределения функции случайного аргумента

Есть непрерывная случайная величина с плотностью распределения, связанная со случайной величиной функциональной зависимостью. Требуется найти закон распределения случайной величиной.

Рассмотрим случай, когда строго монотонна, непрерывна и дифференцируема на интервале всех возможных значений случайной величиной.

Функция распределения случайной величиной по определению есть. Если функция монотонно возрастает на участке всех возможных значений случайной величиной, то событие эквивалентно событию, где есть функция, обратная функции. Когда случайная величина принимает

a

x

y

b

Рис. 6.2. Функция случайного аргумента

значения на участке, то случайная точка перемещается по кривой (ордината полностью определяется абсциссой) (см. рис. 6.2). Из строгой монотонности следует монотонность, и поэтому функцию распределения случайной величиной можно записать следующим образом:

.

Дифференцируя это выражение по, входящему в верхний предел интеграла, получаем плотность распределения случайной величиной в виде

. (6.2)

Если функция на участке возможных значений случайной величиной монотонно убывает, то, проведя аналогичные выкладки, получаем

. (6.3)

Диапазон возможных значений случайной величиной может быть в выражениях (6.2) и (6.3) от до.

Так как плотность распределения не может быть отрицательной, то формулы (6.2) и (6.3)можно объединить в одну

. (6.4)

Пример. Пусть функция случайной величины является линейной, т. е., где. Непрерывная случайная величина имеет плотность распределения, и тогда, используя выражение (6.4), найдем закон распределения, учитывая, что обратная функция есть, а модуль ее производной равен,

. (6.5)

Если случайная величина имеет нормальное распределение

,

то согласно (6.5) получаем

.

Это по-прежнему нормальный закон распределения с математическим ожиданием, дисперсией и средним квадратичным отклонением.

В результате линейного преобразования нормально распределенной случайной величины получаем случайную величину, также распределенную по нормальному закону.

Закон распределения суммы двух случайных величин.
Композиция законов распределения

Имеем систему двух непрерывных случайных величин и их сумму – случайную величину. Необходимо найти закон распределения случайной величины, если известна совместная плотность распределения системы.

Функция распределения – это площадь области на плоскости, где выполняется неравенство (см. рис. 6.3), т. е.

.

Рис. 6.3. Закон распределения суммы случайных величин

x 1

x 2

y

D (y)

Продифференцировав это выражение по, получаем плотность распределения вероятности случайной величины

.

Учитывая симметрию слагаемых, можно записать аналогичное соотношение

.

Если случайные величины и независимы, т. е. выполняется равенство, то две последние формулы примут вид:

; (6.6)

. (6.7)

В том случае, когда складываются независимые случайные величины и, то говорят о композиции законов распределения. Для обозначения композиции законов распределения иногда применяется символьная запись:.

Закон распределения называется устойчивым к композиции, если при композиции законов распределения этого типа получается снова тот же закон, но с другими значениями параметров. Например, если сложить две независимые нормальные случайные величины, то результирующая случайная величина будет иметь нормальный закон распределения, т. е. нормальный закон устойчив к композиции. Кроме нормального закона, устойчивыми к композиции являются законы распределения Эрланга, биноминальный, Пуассона.