double arrow

Карточка №2

3

1. "Озвучьте" записи по центральной симметрии, используя таблицу (записи в тетради).

2. Докажите, что центральная симметрия является движением.

3.

а) Дан параллелограмм ABCD. Постройте фигуру, на которую отображается этот параллелограмм при симметрии с центром С.

б) При симметрии с центром М прямая a отображается на прямую в. На какую прямую отображается прямая в? Как взаимно расположены прямые а и в?

4. Отрезок АВ - диаметр окружности с центром О. Лучи АС и BD параллельны (точки С и D принадлежат окружности). Докажите, что точки C и D симметричны относительно центра О.

5. Известно, что лучи AB и CD симметричны относительно точки. Постройте эти лучи. Постройте их центр симметрии (точку О). На лучах постройте точки М и N так, что AM = CN. Докажите, что точки О, М, N принадлежат одной прямой.

Примерные ответы учеников:

1. I. Центральная симметрия задается центром. Например, точкой О. Обозначается.

II. Центральной симметрией называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка X плоскости отображается в симметричную ей относительно О точку. Точки X и называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка. Тоска О считается симметричной самой себе.

III. а) Центральная симметрия является движением.

б) Неподвижная точка - О, т.е. центр симметрии. Неподвижные прямые - нет.

в) 1. Если центр симметрии принадлежит прямой, то прямая и ее образ совпадают.

2. Если центр симметрии не принадлежит прямой, то прямая и ее образ параллельны.

г) Любой луч отображается на противоположно направленный с ним луч.

IV. Параллелограмм отображается на себя при симметрии с центром в точке пересечения диагоналей.

2. Докажем методом координат, что центральная симметрия является движением.

Имеем центральную симметрию. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат. Выберем систему координат так, чтобы центр симметрии совпадал с началом координат O.

Возьмем произвольные точки M() и N(). Пусть,. Если точки М и N имеют координаты () и (), т.е. M() и N(), то точки и будут

O
l
x
y
иметь соответственно координаты ()и (),

т.е. () и ().

Найдем расстояния между точками

M, N и,:

,

.

Таким образом, MN=, т.е. расстояние между точками M и N равно расстоянию между симметричными им точками и. Следовательно, центральная симметрия сохраняет расстояние между точками, т.е. является движением.

3. а)

Дано:

ABCD - параллелограмм,

С - центр симметрии.

Построить:

Построение:

1., т.к. С - центр симметрии.

2. (по построению).

3. (по построению).

4. (по построению).

5., - параллелограмм, т.к. при движении параллелограмм отображается на параллелограмм.

б) Прямая в отображается на прямую a. Прямые а и в либо параллельны, либо совпадают по свойству центральной симметрии.

4.

Дано:

𝜔, АВ - диаметр,

[AC)║[BD),

C,D.

Доказать:.

Доказательство:

1., т.к. при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

2. Так как [AC)║[BD), АВ - секущая, то ∠DBO=∠CAO (как накрест лежащие углы).

[AC)║[BD) и лучи [AC) и [BD) - противоположно направлены, поэтому [BD).

, т.к. О принадлежит АВ.

Следовательно,.

3., поэтому и.

4. {C}= ω∩[AC). По свойству движений

.

5.

Дано:

,

M[AB), N[CD),

AM=CN.

Доказать: O.

Доказательство:

1. Поскольку, значит точки А и С - симметричны относительно некоторой точки (точки О). Тогда по определению точек симметричных относительно точки О, О - середина отрезка АС.

2. Так как, то все точки отображаются в точки.

3. Поскольку - движение, то, но по условию AM=CN, то N≡G. Поэтому N.

4. N, следовательно, по определению центральной симметрии O, M, N.

Карточка №3.

1. "Озвучьте" записи по теме "Поворот", используя таблицу (записи в тетради).

2. Докажите, что поворот является движением.

3.

а) Дан параллелограмм ABCD. Постройте фигуру, на которую отображается этот параллелограмм при повороте с центром В и с углом АВС (в направлении от ВА к ВС).

б) При повороте с центром О и углом φ (φ ≠ 180°, φ ≠ 0°) прямая a отображается на прямую. Как взаимно расположены прямые а и?

4. При повороте луч АВ отображается на луч CD. Окружность с центром О и радиуса ОА пересекает лучи в точках В и D. Докажите, что при заданном повороте точка В отображается на точку D.

5. При повороте отрезок АВ отображается на отрезок. На отрезках АВ и выбраны точки М и так, что АМ=. Докажите, что угол MO =120°.

Примерные ответы учеников:

1. I. Поворот задается центром и направленным углом. Например, точкой О и углом φ. Обозначается.

II. Поворотом плоскости вокруг точки О на угол φ называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка X отображается в такую точку, что OX=O и ∠XO равен φ. При этом точка О остается на месте, т.е. отображается сама в себя.

III. а) Поворот является движением.

б) Неподвижная точка - О.

в) 1. Если центр поворота принадлежит прямой, то прямая и ее образ пересекаются в точке, совпадающей с центром поворота.

2. Если центр поворота не принадлежит прямой, то прямая и ее образ пересекаются в точке, отличной от центра поворота.

г) Угол между любым лучом и его образом равен углу поворота.

IV. Правильный треугольник отображается на себя при повороте с центром в центре треугольника и с углом 120° (или -120°).

2. Пусть О - центр поворота, α - угол поворота против часовой стрелки. Допустим, что при повороте точки M и N отображаются

в точки M´ и N´. Треугольники OMN и OM´N´ равны

по двум сторонам и углу между ними:

OM=OM´, ON=ON´, ∠M´ON´=∠MON

(т.к. ∠M´ON´=α+∠ M´ON =∠MON).

Из равенства треугольников следует, что MN=M´N´.

Если точки O, M, N расположены на одной прямой, то MN=M´N´, поскольку

OM=OM´, ON=ON´ и MN=MO+ON, M´N´= M´O+ ON´.

3. а)

Дано:

ABCD - параллелограмм,

В- центр поворота,

∠АВС=φ - угол поворота.

Построить:

Построение:

1., т.к. В - центр поворота.

2. (по построению).

3. (по построению).

4. (по построению).

5., - параллелограмм, т.к. при движении параллелограмм отображается на параллелограмм.

б) Поскольку φ ≠ 180°, φ ≠ 0°, то прямая a и пересекаются.

4.

Дано:

,

,

[AB)∩ω={B},

[CD)∩ω={D}.

Доказать:.

Доказательство:

1., (по условию).

2. =ω, т.к. при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

3.. Следовательно, по свойству движений

,

,

.

5.

Дано:

,

M[AB], [],

АМ=.

Доказать: ∠ MO =120°.

Доказательство:

1., поэтому все точки отображаются в точки.

2. - движение, следовательно,, но по условию АМ=. Значит, G≡ и.

3., поэтому по определению поворота MO =120°.

Карточка №4.

1. "Озвучьте" записи по параллельному переносу, используя таблицу (записи в тетради).

2. Докажите, что параллельный перенос является движением.

3.

а) Дан параллелограмм ABCD. Постройте фигуру, на которую отображается этот параллелограмм при параллельном переносе на вектор.

б) Прямая р при переносе на вектор отображается на себя. Как взаимно расположены прямые р и MN?

4. Даны равные окружности с центрами и, не имеющие общих точек. Прямая, параллельная прямой, пересекает окружности последовательно в точках А,В,С,D. Докажите, что при переносе на вектор точка А отображается на точку С, точка В на точку D.

5. При некотором параллельном переносе треугольник АВС отображается на треугольник. Докажите, что медианы АМ и этих треугольников параллельны и равны.

Примерные ответы учеников:

1. I. Параллельный перенос задается вектором, например, вектором.

II. Параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка X отображается в такую точку, что.

III. а) Параллельный перенос является движением.

б) Неподвижных точек, неподвижных прямых - нет.

в) 1. Если прямая не параллельна вектору переноса, то ее образ параллелен самой прямой.

2. Если прямая параллельна вектору переноса, то ее образ совпадает с самой прямой.

г) любой луч отображается на сонаправленный с ним луч.

2. Докажем методом координат, что параллельный перенос

является движением.

Имеем поворот на вектор. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат. Выберем систему координат так, чтобы вектор переноса был параллелен оси OX.

O
l
x
y
 
Возьмем произвольные точки M() и N(). Пусть,. Если точки М и N имеют координаты () и (), т.е. M() и N(), то точки и будут

иметь соответственно координаты ()и (),

т.е. ()и ().

Найдем расстояния между точками

M, N и,:

,

.

Таким образом, MN=, т.е. расстояние между точками M и N равно расстоянию между симметричными им точками и. Следовательно, параллельный перенос сохраняет расстояние между точками, т.е. является движением.

3. а)

Дано:

ABCD - параллелограмм,

- вектор переноса.

Построить:

Построение:

1., т.к. - вектор переноса.

2. (по построению).

3. (по построению).

4. (по построению).

5.,, - параллелограмм, т.к. при движении параллелограмм отображается на параллелограмм.

б) По свойству параллельного переноса прямая p параллельна вектору переноса.

4.

Дано:

, l║,

l∩={A, B}, l∩= {C, D}.

Доказать:

(B)=D.

Доказательство:

1., т.к. при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

2. l║, следовательно, по свойству параллельного переноса.

3. l∩={A, B}. Следовательно, по свойству движений

4. Предположим, что, но. Следовательно,. Аналогично, (B)=D.

5.

Дано:

,

AM, - медианы.

Доказать:

AM=, AM║.

Доказательство:

1. Так как, то точка А отображается в точку, В -, С -. Следовательно, отрезок АВ отображается на отрезок, отрезок ВС - на, отрезок АС - на.

Поскольку отрезок ВС отображается на, то точки [BC] отображаются в точки [ ].

2. - движение и М - середина [BC], - середина[ ]. Поэтому. Значит,.

3., следовательно, AM=, AM║.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  


3

Сейчас читают про: