Содержательный этап

Учитель: Для этого вам необходимо разбиться на группы по 4-5 человек. Каждая группа получит карточку, в которой 5 заданий.

Работа в группах происходит следующим образом: каждый член группы выполняет конкретное задание. Через 3-4 минуты предварительной подготовки заслушиваются ответы внутри группы, выясняются возникающие вопросы, ответы оцениваются, и листок с оценками отдается учителю. Далее объективность оценки и правильность выполнения заданий проверяются учителем и всем классом. Несколько человек могут работать за первыми партами, выполняя по рекомендации учителя задания 2 или 3, 1-2 человека в это время озвучивают записи. Выполнение 4 и 5 заданий проверяются на доске. Сидящие на местах ученики во время ответа других учащихся записывают соответствующие решения в тетрадь.

Карточка №1.

1. "Озвучьте" записи по осевой симметрии, используя таблицу (записи в тетради).

2. Докажите, что осевая симметрия является движением.

3.

а) Дан параллелограмм ABCD. Постройте фигуру, на которую отображается этот параллелограмм при симметрии относительно прямой BC.

б) При симметрии с осью a точка М отображается на точку N. На какую точку отображается точка N?

4. Дан угол АОВ, меньший развернутого. Прямая, перпендикулярная биссектрисе этого угла, пересекает его стороны в точках А и В. Докажите, что при симметрии относительно прямой, содержащей биссектрису угла, точка А отображается на точку В.

5. Известно, что отрезки АВ и CD симметричны относительно прямой p. Постройте эти отрезки. На отрезках постройте точки М и N так, что AM = CN. Докажите, что прямые р и MN перпендикулярны.

Примерные ответы учеников:

1.

Ученик:

I. Осевая симметрия задается осью. Например, прямой l. Обозначение.

II. Осевой симметрией называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка плоскости X отображается в симметричную ей относительно прямой l точку.

Точки X и называются симметричными относительно прямой l, если эта прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой l считается симметричной себе.

III. а) Осевая симметрия является движением.

б) Неподвижные точки при осевой симметрии (по определению) - все точки прямой l. Неподвижная прямая при осевой симметрии - прямая l,. т.е. сама ось симметрии.

в) 1. Если прямая параллельна оси симметрии, то ее образ параллелен самой прямой.

2. Если прямая пересекает ось симметрии в некоторой точке, то ее образ также пересекает ось в этой точке и угол между прямой и осью равен углу между образом этой прямой и осью симметрии.

3. Если прямая перпендикулярна оси симметрии, то ее образ совпадает с самой прямой.

IV. В качестве примера фигуры, отображающейся на себя при осевой симметрии, можно рассмотреть квадрат, который отображается на себя при симметрии с осью, являющейся прямой, проходящей через противоположные вершины квадрата.

2.

Ученик: Докажем методом координат, что осевая симметрия является движением.

Имеем симметрию. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат. Выберем систему координат так, что ось OY совпадает с прямой l.

O

l

x

y

Возьмем произвольные точки M() и N(). Пусть,. Если точки М и N имеют координаты () и (), т.е. M() и N(), то точки и будут

иметь соответственно координаты (-) и (-),

т.е. (-) и (-).

Найдем расстояния между точками

M, N и,:

,

.

Таким образом, MN=, т.е. расстояние между точками M и N равно расстоянию между симметричными им точками и. Следовательно, осевая симметрия сохраняет расстояние между точками, т.е. является движением.

3. а)

Ученик: 1). Поскольку прямая ВС является осью симметрии, то точки В и С, по определению, отобразятся на себя, т.е..

2). Построим образ точки А при симметрии с осью ВС. Для этого из точки А опустим перпендикуляр АО к прямой ВС. Точка О принадлежит оси симметрии. Далее построим точку так, что О - середина отрезка. Точка симметрична точке А относительно оси ВС, т.е..

3). Построим образ точки D при симметрии с осью ВС. Для этого из точки D опустим перпендикуляр к прямой ВС. Точка принадлежит оси симметрии. Далее построим точку так, что - середина отрезка. Точка симметрична точке D относительно оси ВС, т.е..

4). Четырехугольник является образом параллелограмма при симметрии с осью ВС, т.е..

Учитель: Каким по виду будет четырехугольник? Почему?

Ученики: Четырехугольник является параллелограммом, т.к. при движении параллелограмм отображается на параллелограмм.

Оформление построения.

Дано:

ABCD - параллелограмм,

ВС - ось симметрии.

Построить:

Построение:

1)., т.к. ВС - ось симметрии.

2). (по построению).

3). (по построению).

4)., - параллелограмм, т.к. при движении параллелограмм отображается на параллелограмм.

б)

Ученик: При симметрии с осью a точка N отобразиться в точку M по определению симметричных относительно оси точек.

4.

Ученик: Пусть прямая l содержит биссектрису угла АОВ и прямая m перпендикулярна прямой l. Так как ∠АОС= ∠СОВ (по определению биссектрисы), то при симметрии с осью l луч OA отображается на луч ОВ, а прямая m на себя. Так как точка А принадлежит лучу ОА и прямой m, то образ точки А принадлежит образу луча ОА и образу прямой m, т.е. пересечению луча ОВ и прямой. Следовательно, образом точки А является точка В.

Оформление решения.

Дано:

∠АОВ<90°,

ОС - биссектриса ∠АОВ,

ОС принадлежит l,

m l, m∩ОА={A}, m∩ОВ={В}.

Доказать:.

Доказательство:

1..

2., т.к. m l.

3.. Следовательно, по свойству движений

.

5.

Ученик: Поскольку отрезки АВ и CD симметричны относительно прямой p, то все точки отрезка AB отображаются в точки отрезка CD. Точка М отрезка АВ отображается на точку отрезка CD, удаленную от точки С на расстояние, равное АМ. Такой точкой является точка N. Значит, точка N - образ точки М при осевой симметрии с осью p. Тогда, по определению осевой симметрии,.

Оформление решения.

Дано:

,

M[AB], N[CD],

AM=CN.

Доказать:.

Доказательство:

1.. Следовательно, все точки отрезка [AB] отображаются в точки [CD].

2. Поскольку - движение, то, но по условию AM=CN, то N≡G. Поэтому.

3. Так как, то (по определению осевой симметрии).