2014-02-24
1859
Методы анализа структуры систем
Любой объект (элемент, подсистема, компонент), как уже неоднократно отмечалось, является частью более общей системы, в рамках которой он связан отношениями с другими объектами. При анализе и моделировании структуры системы мы должны определить тип отношения (отношений), которое важно для достижения цели или выполнения функции системой. Например, если мы рассматриваем технологический процесс с точки зрения его организации, то нас, прежде всего, интересует последовательность его элементов (операций). Если мы рассматриваем тот же процесс с точки зрения трудоемкости или качества продукции, то нас интересуют уже другие отношения, например, какая операция лучше или менее трудоемкая и т.д. Точно так же, если мы рассматриваем проблему диагностики, то нас интересует отношение между причинами неисправностей. Расположение объектов по степени выполнения некоторого отношения (отношений) называется ранжированием объектов или расположением по уровням порядка.
|
|
|
Рассмотрим процедуру ранжирования более подробно на языке отношений. В соответствии с определением система представима в виде множества элементов с отношениями (мы ограничимся бинарными отношениями)
, (3.2.7)
где X – множество элементов, а R 1, …, Rn – отношения (бинарные), заданные на элементах множества и определяющие связи между ними. Чем больше известно отношений между элементами, тем сложнее структура системы. В простейшем случае, когда известно (задано) одно отношение, система принимает вид
. (3.2.8)
Отношение R сопоставляет некоторому элементу xi множества X другой элемент xj из этого же множества, так что образуется упорядоченная пара. Записывают или. Многие отношения не являются симметричными, т.е. если, то необязательно, что. Более подробно свойства отношений обсуждаются в § 5.3., так как для нашего рассмотрения это не имеет значения. Наиболее часто используются на практике следующие типы отношений:
а) порядок (например, один элемент больше либо меньше другого, лучше или хуже другого и т.д.);
б) предпочтение (один элемент не больше либо не меньше другого, не лучше или не хуже другого и т.п.);
в) эквивалентность (один элемент подобен другому по какому-либо свойству, например, по назначению);
г) причина–следствие (один элемент является причиной или следствием другого, например, как причина и признак неисправности).
Существуют и другие типы отношений, например, сходство, различие, тождество и т.п. Отметим, что не любое множество элементов образует систему, а лишь такое, на элементах которого задано некоторое отношение. Мы хотим определить порядковую структуру системы, соответствующую данному отношению. Эта процедура, как отмечалось выше, называется ранжированием элементов или расположением элементов в порядке очередности по заданному отношению. Рассмотрим сначала систему, не содержащую циклов. Пусть X – конечное множество, на элементах которого задано отношение порядка R «Существует путь из элемента xi в элемент xj, или xi предшествует xj». Пусть для определенности элементы xi – это этапы выполнения некоторого инвестиционного проекта. Отношение R принято задавать матрицей инциденций, которая получается на основе изучения реального объекта, в нашем случае инвестиционного проекта. Эта матрица представляет собой булеву матрицу, состоящую из нулей и единиц, в которой единица означает, что между соответствующими элементами выполняется отношение R, а нуль – что не выполняется. Для нашего случая определим матрицу инциденций в виде:
|
|
|
| R | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 | x 8 | x 9 | x 10 | x 11 | x 12 | x 13 | x 14 |
| x 1 | (1) | |||||||||||||
| x 2 | ||||||||||||||
| x 3 | ||||||||||||||
| x 4 | ||||||||||||||
| x 5 | ||||||||||||||
| x 6 | ||||||||||||||
| x 7 | ||||||||||||||
| x 8 | ||||||||||||||
| x 9 | ||||||||||||||
| x 10 | ||||||||||||||
| x 11 | ||||||||||||||
| x 12 | ||||||||||||||
| x 13 | ||||||||||||||
| x 14 |
Примечание. Единица в скобках может быть опущена, так как ее наличие определяется свойством транзитивности.
В этой матрице пустые места означают нули. Единица, например, в ячейке (x 1, x 4) означает, что x 1 предшествует x 4 и т.д. Таким образом, мы получили систему. Назовем ее условно «инвестиционной системой», так как каждому этапу проекта соответствует определенная доля инвестиций. Требуется разбить множество этапов на группы по степени проявления отношения R, т.е. по порядку следования. Для выделения уровней порядка применяется алгоритм ранжирования.
Шаг 1. Определим вектор-строку A 0, равную сумме строк исходной матрицы. Напомним, что матрица является объединением своих строк-векторов, поэтому сложение строк осуществляется покомпонентно. Имеем
A 0 = (0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 5).
Нули в строке А 0 соответствуют элементам, которым не предшествуют никакие другие элементы. В нашем случае это элементы x 1, x 2. Они образуют первый порядковый уровень: { x 1, x 2} – N 0 (1-й порядковый уровень).
Шаг 2. Преобразуем строку А 0 следующим образом:
а) нули заменим знаком «крест» ´;
б) исключим из строки значения, соответствующие «нулевым» операциям, выделенным на шаге 1, т.е. в нашем случае операциям x 1 и x 2.
В итоге преобразования получим строку А 1:
А 1 = (´ ´ 0 0 0 1 0 1 1 2 2 1 3 4)
Новые нули в строке А 1 соответствуют элементам x 3, x 4, x 5, x 7, которые образуют 2-й порядковый уровень: { x 3, x 4, x 5, x 7} – N 1 (2-й порядковый уровень).
Шаг 3. Действуя аналогично шагу 2, преобразуем строку А 1 и получаем строку А 2:
А 2 = (´ ´ ´ ´ ´ 0 ´ 0 1 1 1 1 2 4).
Аналогично запишем { x 6, x 8} – N 2 (3-й порядковый уровень).
Шаг 4. Повторяя шаг 2, получаем
А 3 = (´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 0 1 1 1 1 4).
{ x 9} – N 3 (4-й порядковый уровень).
|
|
|
Шаг 5. А 4 = (´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 0 0 0 0 4).
{ x 10, x 11, x 12, x 13} – N 4 (5-й порядковый уровень).
Шаг 6. А 5 = (´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 0).
{ x 14} – N 5 (6-й порядковый уровень).
Таким образом, структура системы состоит из отдельных элементов и шести порядковых уровней, объединяющих группы элементов по степени проявления отношения R, т.е. по порядку следования.
Рассмотрим теперь систему с циклами, имеющую более сложную структуру. Отметим, что для использования алгоритма ранжирования, изложенного выше, необходимо появление новых нулей на каждом шаге. Если нули отсутствуют в первой или какой-то из последующих строк, то это является свидетельством, что система содержит циклы, т.е. циклические связи некоторых элементов между собой. Говорят, что два элемента xi и xj связаны циклом, если существует путь из xi в xj и обратно. Путь понимается здесь как связь элементов через отношение R между ними. Цикл может быть простым xi → xj → xi, составным xi → xk → xm →…→ xn → xi или автоциклом xi → xi → xi. Простой цикл будем обозначать xi ↔ xj, составной xi ← - → xj, автоцикл xi ↔ xi.
Определим систему. Пусть для определенности элементами множества Х являются дефекты продукции Х = { х 1, х 2,..., х 8}. Зададим отношение R «Дефект xi не менее значим, чем дефект xj». Назовем полученную систему условно «диагностической системой». Задача состоит в разбиении множества Х на группы по степени проявления отношения R, т.е. по степени значимости. На основе информации о дефектах, полученной по результатам контроля продукции, составлена матрица инциденций:
| х 1 | х 2 | х 3 | х 4 | х 5 | х 6 | х 7 | х 8 | ||
| х 1 | |||||||||
| х 2 | |||||||||
| х 3 | |||||||||
| х 4 | |||||||||
| х 5 | |||||||||
| х 6 | |||||||||
| х 7 | |||||||||
| х 8 |
Так как отношение R является отношением предпочтения, то на главной диагонали стоят единицы. Легко видеть, что вектор-строка А 0, равная сумме строк исходной матрицы, не содержит нулей, следовательно, алгоритм предыдущего примера не применим. Рассматриваемая система содержит циклы, и, чтобы свести задачу к более простой, их нужно исключить. Применим алгоритм ранжирования.
|
|
|
Шаг 1. Проведем анализ исходной матрицы с целью выявления циклов в системе. Анализ проводится построчно сверху вниз, начиная с первой строки. В первой строке исходным является элемент х 1. Нам нужно выявить все пути, ведущие из х 1, в том числе и через другие элементы, обратно в х 1. Анализ показывает, что элементы х 1, х 4, х 7 образуют класс эквивалентности C 1, содержащий составной цикл и простой цикл, а также три автоцикла. Исходным во второй строке является элемент х 2. Получаем аналогично, что элементы х 2, х 6 образуют класс эквивалентности С 2, содержащий простой цикл и два автоцикла. В третьей строке с исходным элементом х 3 элементы х 3, х 8 образуют класс С 3, состоящий из простого цикла и двух автоциклов. Четвертая строка не анализируется, так как элемент х 4 уже входит в класс С 1. В пятой строке исходный элемент х 5 изолированный и образует класс С 4, состоящий из автоцикла. Шестая строка не анализируется, так как элемент х 6 входит в класс С 2. По той же причине не анализируются элементы х 7 и х 8, входящие в классы С 1 и С 3 соответственно. Таким образом, исходная система содержит четыре класса эквивалентности, объединяющих элементы, связанные циклами.
Шаг 2. Используем результат предыдущего шага для исключения циклов в матрице. С этой целью заменим в матрице единицы, соответствующие связям элементов, попавших в один и тот же класс эквивалентности, нулями. Получаем преобразованную матрицу, в которой нули показаны только в ячейках с замененными единицами. Преобразованная матрица циклов уже не содержит, и к ней применим алгоритм предыдущего примера.
| х 1 | х 2 | х 3 | х 4 | х 5 | х 6 | х 7 | х 8 | ||
| х 1 | |||||||||
| х 2 | |||||||||
| х3 | |||||||||
| х 4 | |||||||||
| х 5 | |||||||||
| х 6 | |||||||||
| х 7 | |||||||||
| х 8 |
Шаг 3. Образуем вектор-строку А 0, равную сумме строк преобразованной матрицы: А 0 = (0 0 0 0 1 1 0 3). Выпишем нулевые элементы (х 1, х 2, х 3, х 4, х 7). Отдельные элементы нивелированы (устранены), и мы должны оперировать классами эквивалентности. Элементы х 1, х 4 и х 7 образуют класс C1, который и показывается на первом порядковом уровне {{ C 1}} – N 0 (1-й порядковый уровень). Элементы х 2, х 3 самостоятельно класс не образуют, так как им не хватает «партнеров» – элементов х 6 и х 8 соответственно. Поэтому элементы х 2 и х 3 на этом уровне не показываются.
Шаг 4. Преобразуем строку А 0 так же как в предыдущем примере, заменяя нули крестами и исключая значения, соответствующие всем нулевым элементам (х 1 х 2 х 3 х 4 х 7). Получаем строку А 1 = (´ ´ ´ ´ 0 0 ´ 1). Выписываем нулевые элементы (х 5 х 6). Элемент х 6 с ранее выделенным элементом х 2 образует класс С 2. Элемент х 5 образует класс С 4. Имеем {{ С 2}, { С 4}} – N 1 (2-й порядковый уровень).
Шаг 5. Наконец, преобразуя А 1 аналогично предыдущему, получаем строку А 2 = (´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 0). Нулевой элемент х 8 с ранее выделенным элементом х 3 образует класс С 3, который показывается на этом уровне. Имеем {{ С 3}} – N 2 (3-й порядковый уровень).
Таким образом, структура системы является более сложной, чем в предыдущем примере, так как в ней имеется два типа отношений (предпочтения и эквивалентности) между элементами. Структура системы состоит из трех порядковых уровней, четырех классов эквивалентности и отдельных элементов.
В заключение отметим, что методы ранжирования позволяют моделировать структуру системы, определяемую отношениями между элементами. Сами же отношения отражают цели, для которых используется система.
