Решение

13,22; 22,93; 23,75; 25,95; 28,69; 35,98; 36,42; 36,51; 38,55; 38,61; 38,90; 39,79; 40,51; 41,36; 42,02; 42,24; 43,15; 44,41; 44,72; 45,19; 46,57; 46,61; 46,81; 47,73; 47,91; 47,93; 48,94; 49,11; 50,33; 50,42; 50,94; 52,28; 53,95; 54,91; 55,28; 56,45; 57,43; 57,46; 57,60; 58,61; 58,75; 60,69; 61,76; 63,13; 63,35; 63,98; 64,26; 66,35; 69,37; 78,09.

Решение.

42,02; 56,45; 58,61; 28,69; 57,43; 25,95; 36,51; 46,81; 46,61; 52,28; 50,94; 38,55; 63,98; 64,26; 78,09; 48,94; 44,41; 22,93; 42,24; 39,79; 35,98; 57,46; 13,22; 47,91; 50,33; 69,37; 46,57; 63,13; 58,75; 41,36; 23,75; 36,42; 45,19; 43,15; 61,76; 55,28; 57,60; 54,91; 47,73; 60,69; 66,35; 47,93; 38,90; 38,61; 40,51; 49,11; 63,35; 44,72; 53,95; 50,42

Построить вариационный ряд.

Определение. Числа , показывающие сколько раз встречаются (повторяются) варианты в вариационном ряду, называются частотами. Их отношение к общему числу наблюдений (объем выборки) − относительными частотами , т.е. , где .

Определение. Список вариантов и их частот называется статистическим распределением выборки или статистическим рядом.

Статистическое распределение выборки является оценкой (приближением) неизвестного закона распределения вероятностей и записывается в виде таблицы, в которой первая строка содержит варианты случайной величины, а вторая строка − их частоты. Если же случайная величина непрерывная или дискретная с большим количеством вариант, то составляют интервальный статистический ряд, который также записывается в виде таблицы из двух строк. В первую строку записывают частичные промежутки , которые обычно берут одинаковой длины , где − количество интервалов. За начало первого интервала берут , а (для того, чтобы это неравенство выполнялось необходимо всегда округлять с избытком, в противном случае не все варианты попадут в промежутки). Во вторую строку записывают частоты попадания вариант в данный частичный промежуток.

Пример. Составить статистический ряд по вариационному ряду из предыдущего примера.

Найдем длины частичных промежутков. Поскольку , , (округляем до ближайшего целого числа), то (округляем с избытком).

Промежуток

Контроль: .

Определение. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами в дискретном случае и точки с координатами в непрерывном случае, где − середина частичного промежутка .

Определение. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные промежутки длины , а высоты равны отношению частоты и длины частичного промежутка , т.е. − плотность частоты.

!!! Аналогично последним трем понятиям определяются понятия полигона, гистограммы относительных частот. Как статистический ряд является оценкой (приближением) закона распределения для дискретной случайной величины, так гистограмма является оценкой (приближением) дифференциальной функции распределения (плотности вероятности).

Пример. По статистическому ряду предыдущего примера построить полигон и гистограмму.

Решение. Так как гистограмма применяется для графической интерпретации статистического ряда непрерывной случайной величины, а полигон для статистического ряда дискретной случайной величины, то по первому статистическому ряду предыдущего примера построим полигон, а по второму − гистограмму.

Если взять для каждого из частичных промежутков его середину, то второй статистический ряд можно переписать в том виде, который позволяет построить полигон для данного непрерывного признака.

	17,86	27,14	36,42	45,7	54,98	64,26	73,54

Для построения гистограммы по второму статистическому ряду составим следующую таблицу (число было найдено выше):

Промежуток
	0,11	0,43	0,86	1,72	1,29	0,75	0,22

Рассмотрим теперь следующий шаг выборочного метода, а именно, вычисление числовых характеристик выборки, которые аналогичны числовым характеристикам случайных величин в теории вероятностей.

Определение. Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки: или , где − количество различных вариант (количество частичных промежутков).

Свойства выборочного среднего:

1. Выборочное среднее константы равно этой константе.

2. Если все варианты увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то выборочное среднее увеличится или уменьшится во столько же раз.

3. Если все варианты увеличить или уменьшить на одно и то же число, то выборочное среднее увеличится или уменьшится на это же число.

4. Выборочное среднее отклонений вариантов от выборочного среднего вариационного ряда равно нулю.

5. Выборочное среднее алгебраической суммы нескольких признаков равно алгебраической сумме выборочных средних слагаемых.

Определение. Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней: или .

Определение. Выборочным средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из выборочной дисперсии: .

Определение. Размахом вариационного ряда называется число .

Определение. Асимметрией вариационного ряда называется величина .

Определение. Эксцессом вариационного ряда называется величина .

Замечание. Отрицательная асимметрия означает, что кривая плотности распределения, построенная по эмпирическим данным, является более пологой слева. Положительная асимметрия означает, что такая кривая более пологая справа. Эксцесс позволяет сравнить данную кривую с кривой нормального распределения, для которой он равен 3. Если эксцесс (показатель островершинности) положителен, то данная кривая будет выше кривой нормального распределения, а в противном случае, ниже. Для графической интерпретации этих соотношений следует использовать стандартизованные величины, т.е. математические ожидания и средние квадратические отклонения сравниваемых распределений должны быть равны соответственно нулю и единице (сравнивать можно только «одинаковые» объекты).

Пример. Найти все перечисленные числовые характеристики для статистического распределения, записанного выше.

Решение. Вычислим выборочное средние:

.

Вычислим дисперсию:

.

Вычислим среднее квадратическое отклонения: .

Найдем теперь асимметрию и эксцесс, используя соответствующие определения:

; .