Аннуитеты. Дисконтированная и будущая стоимость аннуитета

Эффективная годовая процентная ставка

Управленческая практика достаточно часто требует сравнения эффективности различных схем начисления процентов. Удобным инструментом для проведения подобных сравнений служит так называемая эффективная годовая процентная ставка, которую обычно обозначают R. Эффективная годовая ставка представляет собой процентную ставку с периодом начисления один год, эффект начисления которой эквивалентен начислению номинальной или периодической процентной ставки m раз в год. Соответственно эффективная годовая ставка R может быть определена из формулы

1 + R = (1 + r/m)^m. (2.5)

Заметим, что в правой части формулы (2.5) вместо отношения r/m может стоять процентная ставка за соответствующий внутригодовой период.

Формулы (2.1) и (2.2) отражают зависимость текущего и будущего денежных потоков в случае, когда текущая стоимость уравновешивает единичный ожидаемый денежный поток (см. рис. 2.1 в конце раздела). В более общем случае текущая стоимость может уравновешивать конечное или бесконечное число будущих выплат (см. рис. 2.2 и 2.3 соответственно). В этом случае мы имеем дело с так называемыми аннуитетами 3. Под аннуитетами будем понимать системы равных по величине, либо изменяющихся по заранее известному закону платежей (выплат) через равные промежутки времени. Основными задачами, связанными с аннуитетами, являются вычисление их текущей (дисконтированной, приведенной) и будущей стоимости. При этом начисление процентов происходит по сложной ставке, то есть предполагается реинвестирование каждого платежа под действующую периодическую ставку.

Самым простым и, одновременно, наиболее распространенным случаем является аннуитет с конечным числом равных по величине платежей в конце периодов (срочный аннуитет постнумерандо). Текущая стоимость такого аннуитета выразится формулой

PVA_n^r =_ A_ + _A_ + … + _A_ (2.6) 1+r (1+r)² (1+r)ⁿ

где А – величина периодического платежа, r - процентная ставка за период, п – число периодов. Несложные выкладки4 позволяют привести формулу (2.6) к виду

PVA_n^r = A [ 1 - _1_ ] (2.7) r (1+r)ⁿ

Будущая стоимость срочного аннуитета постнумерандо выразится следующим образом

FVA_n^r = A(1+r)^n-1 + A(1+r)^n-2 + …+ A(1+r)¹ + A;

или

FVA_n^r = A [ (1+r)ⁿ – 1 ]. (2.8)

r

Теоретически можно задать любой, сколь угодно сложный закон изменения величины платежей; однако невозможность на практике точно прогнозировать будущие финансовые потоки позволяет ограничиться достаточно простыми моделями. Обычно в реальных финансовых ситуациях бывает достаточно комбинации потоков постоянных платежей и платежей, меняющихся с постоянным темпом прироста. Последние описываются аннуитетами, у которых платежи ежепериодно возрастают (уменьшаются) на один и тот же процент g. Если, как и выше, первый платеж обозначить через А, формулы для дисконтированной и будущей стоимостей таких аннуитетов с платежами в конце периодов, будут, соответственно, иметь вид (см. Приложение 2):

PVA_n^r = _ A_ [ 1 - (1+g) ⁿ ],(2.9) r-g (1+r)ⁿ

FVA_n^r = _ A_ [ (1+r)ⁿ – (1+g)ⁿ ].(2.10) r-g

Все приведенные аннуитетные формулы легко модифицировать для случая, когда платежи имеют место в начале периода (аннуитеты пренумерандо).

На практике встречаются случаи, когда платежи выплачиваются теоретически неограниченно долго (например, дивиденды по привилегированным акциям). Очевидно, что речь для таких аннуитетов, называемых бессрочными, может идти лишь об их текущей стоимости. Соответствующие формулы получаются путем предельного перехода при п→∞ из соотношений (2.7) и (2.9) соответственно:

PVР = A (2.11) r

PVР = _ A_ (2.12) r-g

Отметим, что в последнем случае необходимо выполнение условия r>g.