Задачи по теме с решениями

Приложение 2. Вывод формул дисконтированной стоимости аннуитетов

Приложение 1. Обоснование модели дисконтирования дивидендов

Запишем формулу (2.20) для периода 1:

r = (P₁ - P₀)/ P₀ + D₁ /P₀ = (D₁ + P₁)/P₀ – 1,(2.23)

откуда текущая оценочная стоимость акции P₀ составит

P₀ = (D₁ + P₁)/(1+r). (2.24)

С финансовой точки зрения соотношение (2.24) означает, что, оценивая текущую стоимость акции при предполагаемом периоде владения 1 год, инвестор учитывает как дивиденд за этот период, так и прирост ее курсовой стоимости. Вновь применяя формулу (2.20) и принцип дисконтирования, получим оценочную стоимость акции при предполагаемом периоде владения 2 года

P₀ = D₁ /(1+r) + (D₂ + P₂)/(1+r)², (2.25)

где D₂ - ожидаемый дивиденд за год 2, а P₂ - ожидаемая рыночная цена акции на конец второго года. Обратим внимание, что никаких предположений о размере дивидендного выхода, то есть доле прибыли, направляемой на выплату дивидендов, не делается. Даже если вся прибыль реинвестируется, то соотношения (2.24) и (2.25) будут справедливы, просто D₁ и D₂ будут равны нулю, а прирост курсовой стоимости будет демонстрировать значительные темпы9. Последовательно применяя формулу (2.20) и принцип дисконтирования, для бессрочного инвестиционного горизонта получим не что иное, как формулу (2.17). При этом прирост курсовой стоимости в ней нигде не фигурирует, что имеет весьма простое толкование: рано или поздно компания прекратит или замедлит рост и перейдет к выплате дивидендов.

Для обоснования записи конечной суммы (2.6) в форме (2.7) достаточно провести ряд несложных выкладок. Перепишем соотношение (2.6) в форме

PVA_n^r = S_n•A, где

S_n = 1/(1+r) + 1/(1+r)² + … +1/(1+r)ⁿ. (2.26)

Умножив равенство (2.26) с обеих сторон на скобку (1+r), получим

S_n(1+r) = [1/(1+r) + 1/(1+r)² + … +1/(1+r)ⁿ] (1+r),

или S_n(1+r) = 1 + 1/(1+r) + 1/(1+r)² + … +1/(1+r)^n-1 = 1+ S_n-1. (2.27)

С другой стороны.

S_n = 1/(1+r) + 1/(1+r)² + … +1/(1+r)^n-1 + 1/(1+r)ⁿ = S_n-1 + 1/(1+r)ⁿ (2.28)

Сравнивая (2.27) и (2.28), получим

S_n(1+r) = 1+ S_n - 1/(1+r)ⁿ,

Откуда

S_n = [1 - 1/(1+r)ⁿ]/r,

что соответствует формуле (2.7).

Обоснование равенства (2.9) требует совершенно аналогичных, только более громоздких выкладок. Соотношения для наращенных стоимостей аннуитетов (формулы (2.8) и (2.10)) получаются из формул для дисконтированных стоимостей путем умножения последних на (1+r)ⁿ.

Задача 1. Оцените рыночную стоимость обыкновенных акций акционерной компании ХХХ номинальной стоимостью 10 руб. Дивиденд на одну акцию по результатам текущего года составит 2 руб. 50 коп., затем в течение четырех лет будет равномерно возрастать на 10% в год; после чего стабилизируется на достигнутом уровне и будет выплачиваться неограниченно долго. Альтернативная доходность по инвестициям аналогичного уровня риска составляет 12% годовых.

Решение. Номинальная стоимость акции в данной задаче значения не имеет. Оценочная стоимость акции выразится суммой дисконтированных прогнозируемых дивидендов. С конца первого года по конец пятого дивиденд возрастает с постоянным темпом прироста, что позволяет применить соответствующую формулу оценки дисконтируемой стоимости аннуитета с переменными платежами. С конца шестого года дивиденд будет постоянен и равен 2.50(1+0.1)⁴ = 3.66; следовательно, применима формула оценки текущей стоимости бессрочного аннуитета с постоянным платежом. При этом результат применения последней формулы необходимо дисконтировать по ставке 12% еще на пять лете назад, чтобы получить текущую оценку.

Окончательная формула будет иметь вид (S_c – оценочная стоимость акции):

S_c = 2.50 • [ 1- (1+ 0.1)⁵]+ 3.66 • 1 = 28.08, или 28 руб.8 коп.

0.12-0.10 1+0.12 0.12 (1.12)⁵

Задача 2. Дивиденд по привилегированной акции корпорации YYY составляет 20% от ее номинальной стоимости. Ставка рыночной капитализации для долевых инструментов данного уровня риска составляет 16%. Дивиденды выплачиваются поквартально. Оценить рыночную стоимость акции, если ее номинальная стоимость составляет 1 рубль.

Решение. Суммарный годовой дивиденд по акции составляет 20% от ее номинальной стоимости, или 20 коп. Соответственно, квартальный дивиденд составит 5 коп. Необходимая для оценки квартальная ставка дисконтирования рассчитывается по формуле:

(1+r_кв) ⁴ = 1 + 0.16, откуда r_кв = 1.16^0.25 = 3.78%.

Оценочная стоимость акции S_p определится по формуле бессрочного аннуитета:

S_p = 0.05 = 1.32,или 1 руб. 32 коп.

0.0378

Задача 3. В январе 19Х8 года Вы приобрели акцию по цене 50 руб. По результатам этого года по акции был выплачен дивиденд в размере 1 руб. 50 коп. в январе 19Х9 года. На 31 декабря 19Х8 года рыночная цена акции составила 58 руб. Требуется рассчитать полную доходность сделанной инвестиции и реальную доходность, скорректированную на уровень инфляции в 15%. Как изменится величина полной доходности, если при прочих равных условиях дивиденды будут выплачиваться один раз в полгода?

Решение. Полная доходность за период t рассчитывается по формуле (2.20), где P_t и P_t-1 соответственно рыночная цена акции в конце и в начале периода t; D_t - дивиденд за период t

r = D_t+ (P_t– P_t-1) =[1.50 + (58 - 50)]/50 = 0.19, или 19 %.

P_t-1

Если рассчитанную выше доходность принять в качестве номинальной, то реальная, то есть скорректированная на инфляцию доходность r_real определится из соотношения

(1 + r_real)(1 + i) = 1 + r, где i - уровень инфляции.