Математическая постановка задач оптимизации и ее интерпретация

В общем виде математическая постановка задачи оптимизации состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции f(x₁…,x_n) при условиях g_i (x₁…,x_n)≤ b_i (i=1,…,m), где f и g_i - заданные функции, а b_i - некоторые действительные числа. Если все f и g_i линейные, то соответствующая задача является задачей линейного программирования. Если же хотя бы одна из указанных функций нелинейная, то соответствующая задача является задачей нелинейного программирования.

Пусть z=f(x₁,x₂,…,x_n). Тогда мы можем записать:

z®max (min)

g_i (x₁…,x_n) £ b_i,i=1,…,m.

Интерпретировать эту модель можно следующим образом к проблемам выбора наилучших вариантов экономического поведения:

z - оптимизационная цель экономической системы;

f(x₁,…,x_n) - соответствующая ей целевая функция;

x₁,x₂,…,x_n - показатели степени использования средств достижения цели, могут характеризовать выпуск продукции разных видов, загрузку оборудования, использование ресурсов и т.п.

g_i(x₁…,x_n) - функция совокупных затрат средств i -й группы, используемых для достижения целей;

b_i - лимиты, предельные границы совокупных затрат средств i -й группы, фиксируются ограничением на g_i(x) сверху.

Сведение экономических задач к моделям оптимизации решений, являющихся конкретизацией общей задачи математического программирования, основано на ряде исходных предпосылок о характере анализируемых экономических процессов и о выборе наилучших решений.

Среди этих предпосылок основными являются следующие:

1) наличие единого критерия оптимизации качества экономических решений, который может быть количественно измерен;

2) признание ограниченности ("дефицитности") средств достижения целей;

3) наличие взаимозаменяемости средств и многовариантность их использования для достижения одних и тех же целей.

Предпосылки, естественно, упрощают модель экономики по сравнению с реальностью. В большинстве случаев, однако, рост аналитических возможностей для поиска управленческих решений намного перекрывает некоторые неточности, вызываемые упрощённым описанием экономических проблем.

Для предприятия наиболее обоснованным с точки зрения теории оптимизации является критерий оптимальности в виде максимума прибыли (разницы между результатом и затратами) или минимума затрат, где затраты и результаты измеряются в стоимостных единицах. Вместе с тем, следует иметь в виду многоцелевой характер деятельности предприятия.

Ограничениями в общей модели задач оптимизации, как правило, являются ресурсы (средства): людские, материальные, денежные и т.п.

Концепция ограниченности средств достижения целей в экономике обычно сводится к признанию ограниченности ("дефицитности") ресурсов в производственной и непроизводственной сфере.

К понятию ресурсов следует подходить как к полному комплексу не только трудовых, материально-технических и денежных средств, необходимых в хозяйственной деятельности, но и природно-экологических, информационных, социально-психологических условий и факторов, без наличия которых та или иная хозяйственная стратегия не может быть реализована. Соответственно в моделях выбора необходимо прямо или косвенно измерять и учитывать все виды ограниченных ресурсов и с точки зрения их расходования оценивать любые варианты хозяйственной деятельности.

Многовариантность экономических решений, с одной стороны, связана с ограниченностью, с другой – с взаимозаменяемостью ресурсов и способами их использования. В экономических системах, прежде всего, можно выделить прямую взаимозаменяемость ресурсов, когда один и тот же вид деятельности в процессе производства или потребления выполняется разными средствами. Например, сталь может выплавляться мартеновским или конверторным способами (взаимозаменяемость оборудования и технологии), одежда – изготовляться из шерстяных или синтетических тканей (взаимозаменяемость материалов). Наряду с этим целесообразно выделение косвенной взаимозаменяемости средств, когда они взаимозаменяемы опосредованно, через другие средства. Например, использование угля в качестве топлива вместо нефти создаёт возможность использовать нефтяные продукты в производстве синтетических волокон, что в свою очередь ведёт к снижению потребности в хлопке, последнее в принципе создаёт возможность для использования части земель, занятых под хлопок, для выращивания других нужных сельскохозяйственных культур и т.д. Именно наличие как прямой, так и косвенной взаимозаменяемости средств в экономической системе создаёт огромное количество взаимопереплетающихся вариантов хозяйственных стратегий и решений, что делает проблему оптимального выбора настолько нетривиальной, что она во многих случаях не может быть решена без применения экономико-математических моделей и методов оптимизации.