Задача (4.1) называется задачей условной оптимизации (условной задачей), если Х − собственное подмножество пространства .
Рассмотрим конечномерную задачу условной минимизации с ограничениями типа равенств и неравенств:
f (x) inf,
gj (x) = 0, j = 1,2..., k,
gi (x) 0, i = 1,2,..., m,
x En.
Предположим, что задача является гладкой, т.е. функции f (x), gj (x), j = 1,2..., k, gi (x), i = 1,2,..., m – непрерывно-дифференцируемы по х.
Допустимое множество этой задачи имеет вид
X = x gj (x) = 0, j = 1,2..., k, gi (x) < 0, i = 1,2,..., m .
Для такой задачи сохраняют силу утверждения теорем 4.1…4.3,если её локальное решение х * является внутренней точкой допустимого множества Х (х *Îint X). Для многих условных задач минимум достигается на границе, в силу чего для них классические результаты анализа неприемлемы. Необходимо отметить, что при переходе от безусловных задач к условным все вопросы оптимизации становятся более сложными.
В дальнейшем мы часто будем прибегать к геометрической интерпретации задач оптимизации, где , основанной на понятии линий (или поверхностей) уровня функции ¦(x). Линией уровня функции f (x) называют геометрическое место точек, в которых функция f( x ) принимает одно и тоже значение, т.е. множества вида
|
|
Для геометрической интерпретации данной двумерной задачи необходимо изобразить её допустимое множество Х и несколько характерных линий уровня целевой фунции ¦ (х) (рис.4.9).
Чтобы отразить характер изменения функции, у данной линии уровня полезно ставить знак “+ “ с той стороны, где ¦ принимает значения большие a, и знак “ - “ с другой.
В оптимизационных задачах особое значение имеет направление наискорейшего возрастания (убывания) целевой функции, определяемое градиентом (антиградиентом) этой функции (см. п.3.2.3.).
Рис. 4.9. Геометрическая интерпритация задача оптимизации
Градиент функции ¦(x,y) в каждой точке (x, y) направлен по нормали к линии уровня поверхности , проходящей через эту точку. Понятие градиента легко обобщается на случай функции n переменных.
Если функция дифференцируема в точке , то градиентом Ѧ(x) в точке называется n -мерный вектор, координаты которого равны частным производным функции ¦(х), вычисленным в точке , т.е.
Ѧ()= .
Если функция ¦ дифференцируема в точке х, то градиент Ѧ(x) ортогонален к проходящей через х линии уровня и направлен (если естественно Ѧ(x) ¹ 0) в сторону возрастания функции, т.е. в сторону знака “+”. В геометрическом плане поиск глобального решения сводится к нахождению минимального числа a* среди всех a таких, что линия уровня L a имеет непустое пересечение с Х. При этом любая точка х *Î является глобальным решением задачи, а сама – минимальным значением функции ¦ на Х. Возможны два случая: х * лежит внутри (рис. 4.9,а) и на границе (рис. 4.9,б) множества Х.
|
|
Однако только геометрический метод решения никак не может удовлетворить инженеров. Возможны «технические» погрешности, которые неизбежно возникают при приближённом построении графиков. Кроме того, его можно применить только в том случае, когда число переменных в стандартной задаче равно двум. Поэтому необходимы аналитические методы, позволяющие решать задачи с любым числом переменных и выявлять физический, технический, экономический смысл входящих в них величин. Эти методы будут рассмотрены в следующих главах.