Постановка задачи. Задача анализа замкнутой системы с ожиданием (потоки требований пуассоновские)

Задача анализа замкнутой системы с ожиданием (потоки требований пуассоновские)

Исследование математической модели

Построение математической модели

Если составлен размеченный граф состояний, то для построения математической модели, т.е. для составления системы обыкновенных дифференциальных уравнений вероятностей состояний, рекомендуется использовать следующее мнемоническое правило:

Производная вероятности пребывания системы в состоянии n равна алгебраической сумме нескольких членов:

- число членов этой суммы равно числу стрелок на графе состояний системы, соединяющих состояние n с другими состояниями;

- если стрелка направлена в состояние n, то член берётся со знаком плюс;

- если стрелка направлена из состояния n, то со знаком минус;

- каждое слагаемое суммы равно произведению вероятности того состояния, из которого направлена стрелка, на интенсивность потока событий, переводящего систему по данной стрелке.

В соответствии с размеченным графом состояний, используя мнемоническое правило, систему обыкновенных дифференциальных уравнений вероятностей состояний запишем так:

(так называемые уравнения Эрланга)

.

Ограничимся исследованием установившегося режима работы разомкнутой одноканальной системы.

Тогда.

Вместо системы обыкновенных дифференциальных уравнений получаем систему алгебраических уравнений:

Используя полученную систему алгебраических уравнений, легко выразить вероятности состояний системы в виде некоторой рекуррентной формулы.

Из первого уравнения определяется вероятность наличия одного требования в системе

из второго уравнения – вероятность наличия двух требований в системе

.

Окончательно получим.

Аналогично проводятся преобразования для определения:

Окончательно получим и т.д.

Суммируя формулу суммы членов убывающей геометрической прогрессии, получаем

.

При отсюда имеем:

60 вероятность простоя канала обслуживания;

61 вероятность того, что в системе находится требований

62 среднее число требований, находящихся в системе (или математическое ожидание):

Последняя скобка является производной от следующего выражения:

,

т.е. равна.

Окончательно имеем

- среднее число требований, находящихся в очереди:

;

- среднее время ожидания требования в системе, которое можно определить, зная среднее число требований, находящихся в системе:

.

Пусть исследуется некоторая замкнутая СМО с ограниченным количеством требований в системе, т.е. обслуженные требования вновь возвращаются в систему обслуживания (например, экскаватор или автосамосвал). Интенсивность поступления одного требования в систему известна и равна. Интенсивность обслуживания требований известна и равна.

Число требований, нуждающихся в обслуживании, равно n. Требуется определить основные характеристики системы:

1. вероятность того, что в системе имеется требований;

2. вероятность простоя канала обслуживания;

3. среднее число требований, находящихся в очереди;

4. среднее число требований, находящихся в системе;

5. среднее время ожидания требования в очереди;

6. среднее время ожидания требования в системе.