Задачи анализа разомкнутой системы с ожиданием (потоки требований пуассоновские)

Построение математической модели

Время, через которое очередь исчезнет, можно представить в таком виде:

Исследование математической модели

Для определения времени, через которое очередь исчезнет, необходимо раскрыть математическую модель.

В модели использована формула суммы геометрической прогрессии. Чем ближе интенсивность потока к интенсивности обслуживания, тем через больший промежуток времени исчезнет очередь (при). Членом можно для упрощения расчётов пренебречь, тогда.

Постановка задачи

Пусть имеется некоторая СМО, для которой справедливы следующие гипотезы:

1. Вероятность поступления требований не зависит от принятого начала отсчёта времени, а зависит только от продолжительности периода наблюдений (стационарность потока);

2. Не поступают в систему и не покидают её одновременно два или более требований (поток ординарный).

3. Поступление одного требования не зависит от поступления другого (отсутствие последействия).

Известны также интенсивность поступления потока требований (среднее число поступлений требований в единицу времени) и интенсивность обслуживания требований (среднее число обслуживаний в единицу времени).

Требуется определить основные характеристики системы:

1. вероятность простоя канала обслуживания;

2. вероятность того, что в системе находится требований;

3. среднее число требований, находящихся в системе, (в очереди и на обслуживании);

4. среднее число требований, находящихся в очереди,;

5. среднее время ожидания требования в системе.

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей

Поток требований, обладающий свойством стационарности и отсутствием последействия, называется простейшим. В нашей задаче поток требований простейший. Основным понятием при анализе процесса СМО является состояние системы. Зная состояние системы, можно предсказать в вероятностном смысле её поведение.

Простейший поток – это стационарный пуассоновский поток. Если все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, являются пуассоновскими, то для этих систем вероятности состояний описываются с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

μ

λ

λ

μ

λ

μ

λ

λ

μ

μ

Существует определённый методический прием, намного облегчающий вывод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний. Первоначально строится размеченный граф состояний с указанием возможных переходов – это облегчает исследование и делает его более наглядным.

Рисунок 6.3 – Размеченный граф состояний одноканальной разомкнутой СМО с ожиданием

Граф состояний, на котором проставлены не только стрелки переходов, но и интенсивность соответствующих потоков событий, называют размеченным.