Лекция № 7. Задачи управления запасами

Контрольные вопросы

Построение математической модели

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей

Состояние системы будем связывать с числом требований, находящихся в системе. При этом возможны два состояния системы:

- число требований, поступивших в систему,, т.е. канал обслуживания простаивает;

- число требований, поступивших в систему.

Нарисуем размеченный граф состояний однокональной замкнутой СМО с ожиданием:

mλ

μ

(m -1) λ

μ

(m-n+ 1) λ

μ

(m-n) λ

μ

μ

λ

μ

2 λ

… …

Рисунок 6.4 – Размеченный граф состояний одноканальной замкнутой СМО с ожиданием

В соответствии с размеченным графом состояний и используя мнемоническое правило, запишем систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний:

Исследование и решение математической модели

Ограничимся исследованием установившегося режима работы системы. Тогда.

Вместо системы обыкновенных дифференциальных уравнений получаем систему алгебраических уравнений:

Для нетрудно получить рекуррентную формулу: при

при

при

Вероятность того, что в системе находится требований, составит

.

Используя равенство, можно получить выражение для.

Вероятность простоя канала обслуживания P₀=.

Среднее число требований, находящихся в очереди:

.

Среднее число требований, находящихся в системе:

.

Среднее время ожидания требования в очереди:

.

Среднее время ожидания требования в системе:

.

Как можно заметить, определение основных характеристик одноканальных СМО требует большой вычислительной работы, потому целесообразно использовать ЭВМ.

В задачах анализа многоканальных СМО получаются ещё более сложные формулы для вычисления аналогичных характеристик, мы их рассматривать не будем.

1. Понятие систем массового обслуживания. Задачи анализа и синтеза СМО.

2. Классификация СМО.

3. Основные показатели функционирования СМО.

4. Задачи анализа одноканальных СМО, общее представление.

5. Задача анализа детерминированной одноканальной СМО.

6. Задача анализа разомкнутой СМО с ожиданием (потоки требований пуассоновские).

7. Задача анализа замкнутой СМО с ожиданием (потоки требований пуассоновские).

8. Мнемоническое правило построения системы обыкновенных дифференциальных уравнений для нахождения вероятностей состояний на основе размеченного графа.

7.1 Классификация задач управления запасами

7.2 Однопродуктовая детерминированная задача управления запасами

7.3 Задача управления запасами с учётом убытков из-за неудовлетворённого спроса

7.4 Общая детерминированная многопериодная задача управления запасами

Можно выделить четыре основные причины, приводящие к необходимости образования запасов:

1. необходимость гарантирования бесперебойности производственного процесса;

2. периодичность производства отдельных сорторазмеров материальных ресурсов у поставщиков;

3. особенности транспортировки от поставщика до потребителя (несоответствие грузоподъёмности транспортных средств и размеров потребления);

4. несовпадение ритма производства и поставок производимых ресурсов с ритмом их потребления.

Задача управления запасами в общем случае формулируется так. Имеются некоторые запасы, затраты на хранение которых являются функцией (линейной или нелинейной) их величины. Известны также затраты на доставку ресурсов. Необходимо определить оптимальный размер поставки, частоту или сроки поступления ресурсов с тем, чтобы суммарные издержки были минимальны. Критерием оптимизации является минимизация суммы издержек на хранение и поставку ресурсов.

В общем случае задачи управления запасами сводятся к задачам нелинейного программирования, общих методов решения которых нет.

7.1 Классификация задач управления запасами

Задачи управления запасами по наличию того или иного признака можно разделить:

1. По количеству управляемых периодов (пополнения запасов) – на однопериодные и многопериодные. Если пополнение запасов производится в системе один раз, такая задача управления запасами называется однопериодной, в противном случае – многопериодной. Так, например, автомашина может один раз заправиться и сделать ещё дополнительный запас горючего или у неё есть возможность подзаправляться во время перевозок.

2. По характеру пополнения запасов – с непрерывной системой пополнения запасов (мгновенной) и периодической (с задержкой). Если при уменьшении запаса до определённого уровня происходит его пополнение, то мы имеем задачу с непрерывном пополнением запасов. При этом необходим постоянный контроль за уровнем запаса. Разновидностью такой системы является система "двух бензобаков" ("двух бункеров", "двух складов"). Один из бензобаков (бункеров, складов) выдает запас (горючее) только в том случае, если кончается запас в другом, одновременно подаётся сигнал о необходимости пополнения бензобаков (бункеров, складов).

3. По учёту характера спроса – на детерминированные и вероятностные (стохастические). Если невозможно точно предсказать спрос с момента поступления запаса до момента его пополнения, то имеем вероятностную задачу управления запасами, в противном случае – детерминированную. Так, если неизвестен маршрут движения автомашины (состояние дороги, уклоны, подъёмы и т. д.), то практически невозможно точно предсказать расход горючего.

4. По количеству типов ресурсов – на однопродуктовые и многопродуктовые. Если запас включает несколько видов продукции, то имеем многопродуктовую задачу управления запасами, в противном случае – однопродуктовую. Так, если для автомашины кроме бензина будем учитывать расход масла, то это уже будет многопродуктовая задача управления запасами.

5. По виду целевой функции – на задачи с пропорциональными и непропорциональными затратами. Если издержки производства на единицу продукции постоянны, и весь объём спроса в конечном счете удовлетворяется, то мы имеем дело с пропорциональными затратами, в противном случае – с непропорциональными. Так, затраты на 1 км пробега автомашины могут быть постоянными, а могут быть переменными (например, зависят от дальности ездки).

7.2 Однопродуктовая детерминированная задача управления запасами