Запишем на основании (4.4) выражение U (t) через спектральную характеристику S (jΩ)
(5.4)
Так как выражение (5.4) справедливо для любого момента времени t, то оно справедливо и для моментов времени k Δ t, т. е. .
1 шаг: перепишем (5.4) для дискретных моментов времени
, (5.5)
где ;
2 шаг: представим, что спектральная характеристика S (jΩ) периодически повторяется с периодом 2 Ω С. Спектр периодической функции определяется суммой спектральных коэффициентов через обратное преобразование Фурье:
(5.6)
Спектральные коэффициенты определяются прямым преобразованием Фурье
(5.7)
3 шаг: сравним выражения (5.5) и (5.7). Из выражений (5.5) и (5.7) выразим интегралы и приравниваем их между собой. В результате получим
(5.8)
Из (5.8) следует: , т. е. дискретные отсчеты полностью определяют спектральные коэффициенты
Из (5.6) следует: , т. е. спектральные коэффициенты полностью определяют исходную функцию, в нашем случае спектральную характеристику S(j Ω).
В свою очередь, в соответствии с выражением (5.4) Спектральная характеристика полностью определяет исходный непрерывный сигнал .
Таким образом, , то есть дискретные отсчеты, взятые через интервал времени Δ t, полностью определяют исходный непрерывный сигнал.