Ряд Котельникова

Подставим значение спектральных коэффициентов из (5.8) в (5.6). Получим:

Полученное выражение для S () подставим в формулу (5.4).

.

Так как сумма определяется в пределах от –∞ до +∞, то можно поменять знаки при k.

.

После вычисления интеграла получим

.

Таким образом, непрерывный сигнал U(t) представляется совокупностью дискретных отсчетов

. (5.9)

Выражение (5.9) является аналитической формой записи теоремы Котельникова и называется рядом Котельникова.

Учитывая соотношения

; ,

можно из выражения (5.9) получить следующие формы записи ряда Котельникова

, (5.10)

. (5.11)

Таким образом, любая непрерывная функция времени , обладающая ограниченным спектром, может быть представлена в виде бесконечной суммы, каждое слагаемое которой есть произведение отсчета исходной функции в дискретные моменты времени на множитель типа . Этот множитель называют функцией отсчетов. Спектральная характеристика функции отсчетов (рисунок 5.2) ограничена по частоте значениями ±Ω_С и постоянна внутри этой полосы частот.

Рисунок 5.2 – Спектральная характеристика функции отсчетов