Взаимосвязь амплитуд гармонических составляющих ИССФ
Пусть сформирован ИССФ с одной подавленной спектральной зоной, причем это может быть любая спектральная зона, в том числе и нулевая. Для формирования такого сигнала используется одна пара дополнительных ПППИ.
Обозначим через Ао k амплитуду k -й спектральной составляющей исходной ПППИ, а через φ k – ее фазу. Запишем выражение для комплексных спектральных коэффициентов исходной ПППИ в виде
SPo k = . (12.2)
Спектр дополнительной ПППИ, импульсы которой смещены влево на интервал τ 1 относительно импульсов исходной ПППИ, в соответствии с теоремой запаздывания представим в виде
SPLk = К 1 SPok, (12.3)
где К 1 – масштабный коэффициент дополнительной ПППИ, определяемый в результате решения уравнения (12.1) относительно К 1;
, k = 0, 1, 2,….
Соответственно, спектр дополнительной ПППИ, импульсы которой смещены вправо на интервал τ 1 относительно импульсов исходной ПППИ, описывается выражением
SPRk = К 1 SPok, (12.4)
В силу линейности преобразования Фурье спектр ИССФ, образованного совокупностью импульсов исходной ПППИ и двух дополнительных ПППИ, можно определить, суммируя выражения (12.2) – (12.4).
|
|
SPISSF1k = SPok+SPLk+SPRk. (12.5)
После подстановки в (12.5) соответствующих значений из (12.2) – (12.4) и преобразования получим
SPISSF1k=. (12.6)
Заменим сумму комплексных экспонент в соответствии с формулой Эйлера
SPISSF1k = . (12.7)
Выражение (12.7) устанавливает связь комплексных амплитуд спектральных составляющих ИССФ с амплитудами одноименных спектральных составляющих исходной ПППИ для случая, когда в спектре ИССФ подавлена одна любая спектральная зона.
В общем случае при формировании ИССФ с участием n пар дополнительных ПППИ выражение, связывающее спектр ИССФ и спектр исходной ПППИ, имеет вид
SPISSFnk = . (12.8)
На основании (12.8) связь значений амплитуд спектральных составляющих ИССФ с амплитудами спектральных составляющих исходной ПППИ можно представить в виде
. (12.9)
При равенстве нулю амплитуды k -й спектральной составляющей ИССФ выражение (12.9).
На основании (12.9) и получено приведенное выше условие (12.1) подавления n спектральных зон ИССФ в виде
.
Подавление симметричных спектральных составляющих
Амплитуда k -й спектральной составляющей ИССФ в соответствии с (12.9) может быть равна нулю, если выполняются условия: при Ki> 0cos ωkτi< 0 или при Ki < 0cos ωkτi> 0.
Косинус может иметь одно и то же значение при двух значениях аргумента: α и – α.
Выразим ωk через период дискретизации:
, k =1, 2,…,.
Тогда и . Значения переменной k, при которых Aok обращается в ноль, и счет гармонических составляющих, отличных от нуля, начинается как бы заново, имеют период , поэтому и , где – целое число. Так как cos(2πC–α) = cosα, то при равенстве нулю амплитуды k -й спектральной составляющей ИССФ равна также нулю амплитуда -й спектральной составляющей.
|
|
Таким образом, если сдвиг τ i импульсов дополнительных ПППИ относительно импульса исходной ПППИ кратен длительности импульсов τ, то кроме k -й гармонической составляющей в каждом лепестке спектра периодического ИССФ будут подавлены составляющие, расположенные симметрично относительно частот, кратных частоте опроса, имеющих значения m/τ, m =1, 2, … Номера этих составляющих определяются выражением
. (12.10)
В случае подавления первых n спектральных составляющих, в соответствии с вышеизложенным, происходит также подавление n составляющих, лежащих слева от частот m/τ, m =1,2,…, и n составляющих, лежащих справа от этих частот. Таким образом, в каждом спектральном лепестке будет подавлено
q = 2n (12.11) спектральных зон.