double arrow

Примеры решения задач. Ниже приведены решения одной и той же задачи вышеописанными методами

Ниже приведены решения одной и той же задачи вышеописанными методами.

9.6.1. Задание:определить натуральную величину треугольника ABC(рис. 9.8), а также угол наклона плоскости треугольника к плоскости П1.

1) Решение методом замены плоскостей проекций (рис. 9.9).

Плоскость треугольника спроецируется в натуральную величину в том случае, если она будет параллельна одной из плоскостей проекций. Одним преобразованием задачу решить невозможно. Она решается в два этапа: при первой замене плоскостей проекций получают плоскость треугольника ABC,перпендикулярную к новой плоскости проекций, при второй замене - получают плоскость треугольника, параллельную новой плоскости проекций.

Первый этап. Одним из условий перпендикулярности двух плоскостей является наличие прямой, принадлежащей одной из плоскостей, перпендикулярной к другой плоскости. Используя этот признак, проводят через точку А в плоскости треугольника горизонталь (h). Затем на произвольном расстоянии от горизонтальной проекции треугольника A1B1C1 проводят ось x1,4новой системы плоскостей проекций П14перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали h1.В новой системе треугольник ABC стал перпендикулярен к новой плоскости проекций П4.

На линиях проекционной связи в новой системе откладывают координатыzточек А, В, С с фронтальной проекции исходной системы плоскостей П12.


При соединении новых проекций А4,B4, С4получают прямую линию, в которую спроецировался треугольник ABC. На этом этапе определяется угол наклона плоскости треугольника к горизонтальной плоскости проекции П1 – угол α. На чертеже это угол между осью x1,4и проекцией С4А4В4.




Второй этап. Выбираем новую плоскость проекции П5,параллельную плоскости треугольника, т.е. новую ось x4,5проводят параллельно С4А4В4на произвольном расстоянии. Получают новую систе­му П45.Полученный треугольник А5В5С5и есть искомая натуральная величина треугольника ABC.

2) Решение методом вращения вокруг проецирующей оси(рис. 9.10).

Задача решается в два этапа. На первом этапе выполняют вращение так, чтобы плоскость треугольника ABCпреобразовалась в проецирующую плоскость, т.е. стала перпендикулярна к одной из плоскостей проекций. Для этого проводят горизонталь h (h1,h2) через точку А. (построение начинают с фронтальной проекции h2,она проходит через проекцию точки A2и проекцию точки 12 при этомh2 параллельна оси х).Далее находят горизонтальную проекцию h1 горизонтали h (через проекции A1 и 11). Через точку А проводят ось i - ось вращения треугольника так, чтобы она была перпендикулярна к П1. На фронтальной проекции через вершины А2 и В2 проводят следы горизонтальных плоскостей уровня Δ и Σв которых при вращении будут перемещаться точки АиВ. Вершина С принадле­жит плоскости П1поэтому ее плоскостью вращения будет плоскость проекций П1.На горизонтальной проекции, взяв за центр вращения проекцию i1 поворачивают горизонталь А так, чтобы на плоскость П2 она спроецировалась в точку. На чертеже это выразится тем, что h'1 займет новое положение - перпендикулярно к оси х.



При этом на фронтальной проекции А2 остается неизменной, находясь на следе плоскости Σ2 и ее обозначим a2'.

На гори­зонтальной проекции поворачиваем оставшиеся вершины В и С во­круг оси i так, чтобы . На фронтальной проекции вершина В перемещается по следу плоскости 2, а вершина С - по оси х. Соединив новые положения проекций всех вершин треугольника ABC, получают проекцию А'2В'2С'2,сливающуюся в линию. Плоскость треугольника ABC заняла проецирующее положение. На данном этапе, при необходимости, находят угол наклона плоскости треугольника ABC к П1 – угол α .

На втором этапе проводят ось jчерез вершинуС так, чтобы ось была фронтально проецирующая. При этом С'2j'2, а горизонтальная проекция j'1 пройдет через проекцию С'1. Вокруг оси поворачивают треугольник так, чтобы он стал параллелен горизонтальной плоскости проекций. В данной задаче вращают точки А'2 и В'1, вокруг j2 до совмещения с осью х,при этом проекции B'1 и A'1 будут перемещаться параллельно оси хи займут новое положение В"1, и А"1 вершина С оста­нется на месте. Соединив точки между собой, получают новое положение плоскости (оно соответствует натуральной величине треугольника ABC).

3) Решение методом плоскопараллельного перемещения (рис. 9.11).

Задача решается в два этапа. На первом этапе преобразуют чертеж так, чтобы плоскость треугольника ABC стала перпендику­лярна к одной из плоскостей проекций. Для этого проводят в плоскости треугольника горизонталь h (фронтальная проекция А212х,). Каждую вершину треугольника заключают в свою плоскость уровня, параллельную плоскости П1. В рассматриваемом примере вершина С принадлежит плоскости проек­ций П1, А принадлежит плоскости Σ, В — плоскости Δ.

Плоскость треугольника перемещается в пространстве до тех пор, пока горизонталь h1 треугольника не станет перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций П2.

Для этого на свободном поле чертежа вычерчивают горизонтальную проекцию треугольника A1B1C1с условием, чтобы А111П2, а значит А111х. При этом вершины треугольника, перемещаясь каждая в своей плоскости, займут новое положение – (фронтальная проекция А2В2С2 заменится А'2В'2С'2).Соединив эти точки, получают новое положение треугольника ABC, спроецированного в линию, т.е. перпендикулярного к плоскости П2.

На втором этапе, чтобы получить натуральную величину треугольника ABC, его плоскость поворачивают до тех пор, пока она не будет параллельна одной из плоскостей проекций. В рассматриваемом решении фронтальную проекцию треугольника А222'располагают на произвольном расстоянии от оси хпараллельно плоскости П1. При этом вершины А, Ви С треугольника заключают в горизонтально проецирующие плоскости θ, Т, Р. По следам этих плоскостей будут перемещаться горизонтальные проекции вершин А111'. От нового положения фронтальной проекции А222" проводят линии проекционной связи до пресечения с соответствующими следами плоскостей, в которых они перемещаются (θ1,T1,P1), и получая проекции точек А1" В1" C1". Соединив эти проекции, получают тре­угольник ABC в натуральную величину.

4) Решение методом вращения вокруг линии уровня(рис.9.12)

Для решения задачи этим способом необходимо повернуть плоскость треугольника вокруг линии уровня, в данном случае вокруг горизонтали, до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекции. Через точку А в плоскости треугольника ABC проводят горизонталь h, фронтальная проекция которой будет параллельна оси х. Отмечают точку 12 и находят ее горизонтальную проекцию 11. Прямая A111 является горизонтальной проекцией h1горизонтали h. Вокруг горизонтали будут вращаться точки В и С. Определяют натуральную величину радиуса вращения точки С .

Для определения натуральной величины радиуса вращения используют любой метод (в данном случае способ прямоугольного треугольника) строят прямоугольный треугольник, в котором O1C1 - один из катетов. Вто­рой катет - разность координат Δzотрезка О2С2, взятого с фронталь­ной проекции. В построенном треугольнике гипотенуза O1C0 - нату­ральная величина радиуса вращения.

На продолжении перпендикуляра O1C1 откладывают |RBp.| и полу­чают новое положение вершины С после вращения — С0. Проекция вер­шины В0 получается пересечением луча C011 и перпендикуляра к горизонтальной проекции h1 проведенного через проекцию точки В1.

Треугольник A0B0C0 есть искомая натуральная величина тре­угольника ABC.

5) Решение методом совмещения(рис. 9.13).


Для решения задачи методом совмещения необходимо построить следы плоскости Σ, которой принадлежит треугольник ABC. Для этого проводят в плоскости треугольника ABC фронталь f и находят горизонтальный след этой фронтали – N1. По условию задачи вершина С треугольника принадлежит горизонтальной плоскости проек­ций П1. Тогда горизонтальный след Σ1 плоскости Σпроводят через проекции N1 и C1. Соединив эти две точки и продлив отрезок до пересечения с осью х, находят точку схода следов Σх. Учитывая, что все фронтали плоскости параллельны ее фронтальному следу, фронтальный след Σ2 плоскости Σпроводят через точку Σхпараллельно проекции фронтали f2.

Для нахождения натуральной величины треугольника ABCнеобходимо построить совмещенное положение плоскости Σ с горизонтальной плоскостью проекций П1. Для этого через вершину Апроводят горизонталь h1. На фронтальном следе Σ2 фиксируют точку 22. Ее горизонтальная проекция - точка 21. Точка 2 вращается в плоскости, перпендикулярной к горизонтальному следу плоскости Σ. Поэтому, чтобы построить точку 2 в совмещенном положении 20, проводят из 21перпендикуляр к горизонтальному следу Σ, а из центра Σх дугу окружности радиусом Σх22 до пересечения с направлением перпендикуляра. Соединив Σх с 20, получают совмещенное положение фронтального следа Σ0 - Далее через точку 20 проводят горизонталь h0всовмещенном положении. На этой горизонтали находят точку А0, проведя перпендикуляр из точки A1 к горизонтальному следу Σ1.

По такой же схеме строят совмещенное положение точки В0. Совмещенное положение точки С совпадает с ее горизонтальной проекцией С1 т.е. С1С0. Соединив построенные точки, получают треугольник А0В0С0 - это и есть натуральная величина треугольника ABC.

  1. МНОГОГРАННИКИ.





Сейчас читают про: