1) Случай функции двух переменных . Направление задается вектором. Выберем единичный вектор, задающий направление на плоскости: . Этот вектор образует угол с положительным направлением оси OX. Производной функции двух переменных по направлению называется выражение .
2) Случай функции трех переменных . Пусть задан единичный вектор , образующий углы с осями OX, OY и OZ, соответственно. Если обозначить координаты вектора через , то по формуле косинуса угла между двумя векторами и получим . Аналогично, . Таким образом, единичный вектор, образующий углы с осями OX, OY и OZ, имеет координаты . Производной функции трех переменных по направлению называется выражение
.
Определение. Градиентом функции называется вектор . Поэтому производную функции по направлению, задаваемому единичным вектором , можно вычислить по формуле , где справа в формуле стоит скалярное произведение градиента функции и единичного вектора направления.
Основное свойство градиента: среди всевозможных направлений наибольшее, причем положительное, значение производная по направлению принимает по направлению градиента. Это свойство следует из определения скалярного произведения. Поскольку положительность производной означает рост функции, направление градиента в точке – это направление наибольшего роста функции.
|
|
Частные производные высших порядков.
Любая частная производная функции переменных сама также является функцией переменных. Частная производная от частной производной функции многих переменных называется частной производной второго порядка функции . При этом, если переменные, по которым берутся производные сначала от функции , а затем от функции , не совпадают, такая частная производная называется смешанной. Обозначения частной производной второго порядка: . В том случае, когда и – непрерывные функции в окрестности некоторой точки, в этой точке.
Аналогично вводятся частные производные любого порядка.
П р и м е р. Найти от функции . Имеем .
Для того, чтобы вычислить ту же производную с помощью MAXIMы, воспользуемся командой diff(log(x+3*y),x,2,y,1).
Дифференциалы высших порядков.
По аналогии с производными вводятся дифференциалы высших порядков, то есть дифференциалы от дифференциалов. Рассмотрим функцию трех переменных . Дифференциалом этой функции является выражение . Заметим, что входящие в последнее выражение производные – функции от , а дифференциалы переменных не зависят от . Поэтому при условии непрерывности смешанных производных дифференциал второго порядка имеет вид
.
В последней формуле мы воспользовались свойством равенства смешенных производных. Нетрудно видеть, что формула дифференциала второго порядка аналогична формуле второй степени суммы трех слагаемых. Нетрудно сосчитать дифференциалы второго и третьего порядков функции двух переменных : ,
|
|
.
Упражнение. Найти для функции в точке (1,1).
Формула Тейлора для функции многих переменных.
Как и в случае функций одной переменной, для функций многих переменных формула Тейлора дает связь между приращением функции в точке и ее дифференциалами в этой же точке:
где .
В частности, для функции двух переменных имеем:
Здесь .