Следствия основных теорем – формула полной вероятности (ФПВ) и формула Байеса находят широкое применение при решении большого числа задач.
2.5.1. Формула полной вероятности.
Если по результатам опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) H1, H2, … Hn, представляющих полную группу несовместных событий (для которой Ʃi=1nP(i)=1, то вероятность события А, которое может появиться только с одной из этих гипотез, определяется:
(2.13) |
где P(Hi) – вероятность гипотезы Hi;
P(А| Hi) – условная вероятность события А при гипотезе Hi.
Поскольку событие А может появиться с одной из гипотез H1, H2, … Hn, то А= АH1 ˅АH2 ˅…˅ АHn, но H1, H2, … Hn несовместны, поэтому
При зависимости события А от появления гипотезы HiP(AHi) = P(Hi)· P(А| Hi), откуда и следует выражение (2.13).
2.5.2. Формула Байеса (формула вероятностей гипотез).
Если до опыта вероятности гипотез H1, H2, … Hn были равны P(H1), P(H2), …, P(Hn), а в результате опыта произошло событие А, то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются:
|
|
(2.14) |
Доопытные (первоначальные) вероятности гипотез P(H1), P(H2), …, P(Hn) называются априорными, а послеопытные – P(H1| А), … P(Hn| А) – апостериорными.
Формула Байеса позволяет «пересмотреть» возможности гипотез с учетом полученного результата опыта.
Доказательство формулы Байеса следует из предшествующего материала. Поскольку P(Hi ^А) = P(Hi)· P(А| Hi) = P(Hi)· P(Hi| А):
(2.15) |
откуда, с учетом (2.13), получается выражение (2.15).
Если после опыта, давшего событие А, проводится еще один опыт, в результате которого может произойти или нет событие А1, то условная вероятность этого последнего события вычисляется по (2.13), в которую входят не прежние вероятности гипотез P(Hi), а новые – P(Hi| А):
(2.16) |
Выражение (2.16) называют формулой для вероятностей будущих событий.
Контрольные вопросы и задачи:
1. Перечислите показатели безотказности объекта и поясните, чем отличаются статистическая (выборочные оценки) и вероятностная форма (определения)?
2. Поясните «схему испытаний» объекта при определении выборочных оценок показателей безотказности?
3. Дайте определение «оценки» вероятности события и объясните условие сходимости оценки и вероятности события?
4. Перечислите и поясните основные аксиомы вероятности?
5. Перечислите и поясните смысл основных правил (теорем) теории вероятностей?
6. Назовите следствия основных теорем теории вероятностей?
7. Прибор может работать в двух режимах: «1» и «2». Режим «1» наблюдается в 80% случаев, режим «2» - в 20% случаев за время работы T. Вероятность того, что прибор откажет при работе в режиме «1» равна 0.1, а вероятность отказа прибора в режиме «2» - 0.7. Найти вероятность отказа прибора за время T? Ответ: 0.22
|
|
8. Прибор состоит из 3-х блоков, которые независимо друг от друга могут отказать. Отказ каждого из блоков приводит к отказу всего прибора. Вероятность того, что за время T работы прибора откажет первый блок, равна 0.2, второй – 0.1, третий – 0.3. Найти вероятность того, что за время T прибор проработает безотказно?
Ответ: 0.504
9. Прибор состоит из 2-х блоков, дублирующих друг друга. Вероятность того, что за время T каждый из блоков проработает безотказно, равна 0.9. Отказ прибора произойдет при отказе обоих блоков. Найти вероятность того, что за время T прибор проработает безотказно?
Ответ: 0.99
Т а б л и ц а 2.1
Обозначения | Язык теории множеств | Язык теории вероятностей |
Ω | Универсальное множество, множество всех ω | Пространство элементарных событий (элементарных исходов эксперимента), достоверное событие |
ω | Элемент множества Ω | Элементарное событие |
A | Некоторое множество элементов | Событие A (если , то говорят, что наступило событие A) |
Ø | Пустое множество | Невозможное событие |
Ā | Дополнение множества A | Событие, противоположное событию A |
A – подмножество B | Из наступления события A необходимо следует событие B | |
Объединение множеств Aи B;множество точек, входящих хотя бы в одно из множеств Aили B | Событие, состоящее в том, что произошло или A, или B, или оба вместе | |
Пересечение множеств A и B; множество точек, входящих и в А, и в B | Событие, состоящее в том, что произошло и A, и B | |
A и B – непересекающиеся множества | A и B – несовместные события | |
A \ B | Разность множеств A и B | Событие, состоящее в том, что произойдет A, но не произойдет B |
Множество всех тех ω, которые принадлежат бесконечному числу множеств из последовательности {An} | Событие, состоящее в том, что произойдет бесконечное число событий из последовательности {An} | |
Множество всех тех ω, которые принадлежат всем An, за исключением конечного числа (множество всех тех ω, которые не принадлежат только конечному числу множеств An) | Событие, состоящее в том, что произойдут все события An, за исключением конечного числа (событие, состоящее в том, что не произойдет только конечное число из событий последовательности {An}) | |
lim An | Если , то последовательность множеств {An} имеет предел | Если , то последовательность событий {An} имеет предел |
Т а б л и ц а 2.2