2014-02-09
463
Средняя квадратическая.
Средняя геометрическая.
Средняя гармоническая.
N n (6.2.2)
N (6.2.1)
Виды средних величин
В статистике применяются различные виды средних величин, которые выводятся из формулы степенной средней:
___________
-- z / å X z
X = Ö ----------------
при z = -1 Þ средняя гармоническая;
z = 0 Þ средняя геометрическая;
z = 1 Þ средняя арифметическая;
z = 2 Þ средняя квадратическая.
Наиболее простой и распространенной является средняя арифметическая. Она бывает простая и взвешенная.
Средняя арифметическая простая вычисляется в тех случаях, когда каждое отдельное значение признака встречается один раз.
В общем виде формулу простой арифметической средней можно записать так:
-- x1 + x2 + x3 + … + xn å xi
X арифм. = --------------------------------------- = ----------.
Пример:
| № рабочего | ||||||
| Заработная плата, руб. |
-- 4000 + 5000 + 6000 + 3000 + 5500 + 3500 27000
X арифм. = ----------------------------------------------------- = --------- = 4500 руб.
|
|
|
6 6
Когда значения признака (варианты) встречаются по нескольку раз, применяется средняя арифметическая взвешенная.
-- x1* f1 + x2* f2 + x3 * f3 + … + xn * fn å xi * fi
X арифм.взвеш = ----------------------------------------------------- = ----------.
f1 + f2 + f3 + … + fn å fi
(6.2.3)
Пример:
| Заработная плата, руб. xi | Число рабочих, чел. fi |
-- 1*3000+2*4000+3*5000+2*6000 38000
X арифм.взвеш.= ------------------------------------------- = ---------- = 4750 руб.
1 + 2 + 3 + 2 8
В интервальном вариационном ряду за значение варьирующего признака принимается центр (середина) интервала. Среднее значение интервала находят как полусумму верхней и нижней границ. Если интервал открытый («до…», «свыше…»), то величиной первого интервала считают величину последующего интервала, а величиной последнего -- величину предыдущего. При этом мы исходим из предложения о равномерности распределения вариант внутри интервалов.
Пример:
| Заработная плата, руб. xi | Середина интервала, xi | Число рабочих, чел. fi |
| до 3000 | ||
| 3000 - 5000 | ||
| 5000 - 10000 | ||
| свыше 10000 |
-- 1*2000+2*4000+2*7500+3*12500 62500
X арифм.взвеш=--------------------------------------------- = ---------- = 7812,5 руб.
1 + 2 + 2 + 3 8
Естественно, что средняя, рассчитанная по интервальному ряду, будет иметь погрешности от действительной величины. Эта погрешность зависит:
· от числа случаев: чем их больше, тем меньше середина интервала будет отличаться от групповой средней;
· величины интервала: если верхняя граница не очень далеко отстоит от нижней, то и ошибка будет незначительна;
· характера распределения: чем более симметрично распределение, тем меньше ошибка;
|
|
|
· принципа построения интервального ряда: при равных интервалах центр его будет ближе примыкать к средней арифметической по данной группе.
-- å xi * fi å Mi
X гарм. = -------------- = ----------------.
xi * fi 1
å --------- å ---- * Mi (6.2.4)
xixi
Пример:
| Заработная плата, руб. xi | Фонд заработной платы, руб. xi * fi |
-- 6000 + 8000 + 15000 + 18000 47000
X гарм. = ------------------------------------------------- = ---------- = 4700 руб.
6000 8000 15000 18000 10
------ + ------ + ---------- + ---------
3000 4000 5000 6000
_____
-- n /
X геом. = Ö ПК (см. тему «Ряды динамики»). (6.2.5)
________________
/ __
-- / å (xi - x)2 * fi
X квадр.= Ö ----------------------- (см. тему «Показатели вариации»).
å fi
(6.2.6)
Если числовые значения признака (варианты) известны на определенные периоды времени – моменты (cреднегодовая стоимость основных фондов, среднесписочная численность персонала и т.д.), то
-- 1/2*x1 + x2 + x3 + … + 1/2*xn
X хронол. = -----------------------------------------------.
