Механика. Материальная точка. Движение материальной точки. Скорость и ускорение произвольно движущейся точки

Механика – это наука о механическом движении тел и происходящих при этом взаимодействиях между ними. Кинематика – раздел механики, который рассматривает лишь само перемещение тел в зависимости от времени.

Рис. 1.1

Наиболее просто описать поведение тела, если можно приять это тело за материальную точку. Материальной точкой называют тело, размерам которого можно пренебречь в рассматриваемой задаче. Для определения положения тела в пространстве используют понятие системы отсчета: включающее тело отсчета, связанную с ним систему координат и прибор (часы) для измерения времени (рис. 1.1). Положение тела в пространстве задается либо с помощью радиус-вектора ,проведенного из начала координат в рассматриваемую точку (для точек 1 и 2 на рис. 1.1 это векторы и ), либо с помощью координат x, у, z– проекций вектора на координатные оси:

, (1.1)

где - векторы, указывающиенаправление осей Ox, Oy, Oz и равные по модулю единице.

Вектор ,соединяющий начальное и конечное положение тела (точки 1 и 2 на рис. 1.1), называют перемещением. Модуль перемещения меньше или равен пути l – расстоянию, пройденному телом по траектории; они равны в случае прямолинейного движения в одну сторону.

Для определения быстроты движения тела вводят понятие мгновенной скорости тела в данной точке траектории, равную первой производной от радиус-вектора (или перемещения ) по времени t:

(1.2)

Вектор в каждой точке траектории пространства направлен по касательной к ней (рис. 1.2).

Часто используют понятие средняя путевая скорость – скалярная физическая величина, равная отношению пути l, пройденного телом за время t, к этому времени t.

	Рис. 1.2

Быстроту изменения скорости определяют, введя понятие мгновенного ускорения – ускорения в данной точке траектории, равного первой производной от скоростипо времени t:

(1.3)

Проекцию вектора ускорения на направление касательной к траектории называют касательным (тангенциальным) ускорением , а на направление, перпендикулярное к касательной, – нормальным (центростремительным) ускорением (см. рис. 1.2):

(1.4)

где v – числовое значение скорости; R– радиус кривизны траектории в данной ее точке, он равен радиусу окружности R, вписанный в малый участок траектории вблизи этой точки.

Касательное ускорение характеризует изменение скорости тела по ее числовой величине (по модулю скорости), а нормальное ускорение – по направлению.

Приведем вывод формул для ускорений a_τ и a_n. Для этого возьмем на траектории движения две близко расположенные точки 1 и 2, разделенные интервалом времени ∆ t (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Перенесем вектор параллельно самому себе в точку 1 и, отложив на нем отрезок, равный по модулю вектору, получим точку 3 (рис. 1.3 б). Тогда вектор можно представить в виде суммы двух векторов При ∆ t→ 0 углы α и β стремятся соответственно к 0⁰ и 90⁰, поэтому вектор , направленный по касательной к траектории, будет характеризовать изменение числового значения скорости, а вектор будет перпендикулярен к . Следовательно,

(1.5)

Длина дуги и расстояние по прямой между точками 1 и 2 (рис. 1.3 а) при малых ∆ t→dt будут равны dl _1,2 = ds _1,2 = vdt. Из подобия треугольников ∆1 0 2 (рис. 1.3 а) и ∆1 v ₁3 (рис. 1.3 б) следует

.