Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Сложение гармонических колебаний

Пусть тело одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих в одном направлении, причем амплитуды и начальные фазы колебаний различны (А ₁ ≠ А ₂, φ₀₁ ≠ φ₀₂):

,.

Результирующее движение, равное сумме колебаний х ₁ и х ₂, будет гармоническим колебанием той же циклической частоты ω:

. (11.10)

Рис. 11.3.

Определим амплитуду и начальную фазу результирующего колебания методом векторных диаграмм. Для этого проведем из точки О векторы и под углами φ ₀₁ и φ ₀₂ к оси Ох и приведем их во вращение с угловой скоростью ω (рис. 11.3).

Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ω, поэтому угол φ ₂ – φ ₁ между ними все время остается неизменным. Проекции векторов и на ось Ох совершают гармонические колебания. Результирующее колебание будет изображаться проекцией на ось Ох вектора , полученного из векторов ипо

правилу параллелограмма. Из построения на рис. 11.3 следует, что (по теореме косинусов)

,

. (11.11)

Из треугольников ∆ОА₁В и ∆ОАС для начальной фазы φ ₀ результирующего колебания следует выражение

. (11.12)

Рассмотрим частные случаи сложения колебаний.

1а. ,

то есть, если разность фаз складываемых колебаний равна четному числу π, то тогда колебания максимально усиливают друг друга.

1б. ,

то есть, если разность фаз складываемых колебаний равна нечетному числу π, то тогда колебания максимально ослабляют друг друга.

2. Биения – это колебания, которые возникают в результате сложения двух гармонических колебаний х₁ и х₂ одного направления с близкими частотами (ω₂, ω₁ >> ∆ω = ω₂ – ω₁):

.

Рассмотрим подробнее результаты сложения таких колебаний. Для простоты будем считать, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы: А ₁ = А ₂ = А. Используя известную формулу сложения косинусов, получим:

и определим:

. (11.13)

Первый сомножитель в выражении (11.13) изменяется со временем значительно медленнее второго (∆ω << ω₁, ω₂), поэтому можно считать, что результирующее колебание представляет собой колебание с циклической частотой ω = (ω₁ + ω₂)/2 и с изменяющейся со временем амплитудой биений:

. (11.14)

Итак, биения можно представить как колебания с периодически изменяющейся амплитудой; эти колебания не являются гармоническими. При этом период изменения амплитуды (период биений Т_Б) и циклическая частота биений Ω будут определяться по формулам:

. (11.15)

На рис. 11.4 приведены графики изменения амплитуды биения А_Б и смещения х м. т. от времени. Метод биений применяют, например, для настройки музыкальных инструментов.

	Рис. 11.4.