Раздел 2. Электронные состояния и движение электронов в идеальном кристалле.
2.1 Одноэлектронное уравнение Шредингера для кристалла. Одноэлектронная волновая функция Блоха.
2.2 Методы расчета электронных энергетических состояний в твердых телах. Приближения свободных и сильносвязанных электронов.
2.3 Зонная структура твердых тел. Зоны Бриллюэна для кубических и генксагональных кристаллов.
2.4 Эффективная масса электрона в кристалле, её связь со структурой энергетических зон. Понятие дырки. Динамика электрона в периодическом поле изитропных и анизотропных кристаллов.
2.5 Зонная структура типичных металлов, полупроводников, полуметаллов, бесщелевых полупроводников и диэлектриков.
2.6 Размерное квантование энергии электронов и дырок в полупроводниках. Квантоворазмерные структуры с низкоразмерным электронным газом.
Электронный спектр кристалла –зависимость энергии электрона в периодическом потенциальном поле кристалла от волнового вектора k электрона (или закон дисперсии)
Закон дисперсии для свободного электрона
, mо – масса свободного электрона
k - волновой вектор, который указывает направление движения электрона в пространстве.
Движение свободного электрона описывается как распространение плоской электронной волны (волны де Бройля).
- фазовый показатель.
А- амплитуда.
- расстояние.
- волновой вектор.
В кристалле: энергия электрона изменяется под действием сил поля решетки – закон дисперсии из непрерывного превращается в набор разрешенных и запрещенных зон энергии, а также изменяется масса электрона: она может быть больше или меньше mо, а также быть положительной или отрицательной. Массу электрона в кристалле называют эффективной, она не имеет отношения к силам тяготения, но описывает динамику электрона в кристалле.
Обозначение m* -величина изотропная или тензорная в зависимости от типа кристаллов.
Движение электрона описывается бегущей плоской электронной волной с модулированной амплитудой с периодом решетки:
- волна Блоха.
Зонный характер электронного спектра можно понять из рассмотрения образования кристалла в квантовой(зонной) теории ТТ:
Образует кристалл ∞-ных размеров без дефектов(идеальный) из изолированных атомов.
Изолированные атомы имеют известный электронный спектр - набор дискретных уровней энергии Еn (n – номер уровня)
Расположим атомы в виде кристаллической решетки необходимой симметрии, но с расстояниями между атомами d > a (a - const решетки)
Тогда каждый уровень En будет повторяться N- раз по числу атомов в единице объёма или иначе каждый уровень будет N- кратно вырожден.
Сблизим атомы (однородным сжатием решетки) до расстояния d=a.В этом случае – вырождение уровней Еn – снимается путем расщепления каждого уровня в зону, состоящей из N –уровней в результате обменного взаимодействия между атомами (см рис 2).
Теперь электрон переходит от атома к атому в результате тунеллирования и,т.о. – он принадлежит уже всей совокупности атомов – т.е. свободно перемещается по кристаллу.
Рис. 2. Образование зонного спектра.
Выберем уровни 1s и 2s
Из уровня 1s образуется 1s зона, а из уровня 2s 2s-зона разрешенных значений энергии для е в кристалле, между 1s и 2s зонами имеет место запрещенные значения энергии для е в кристалле- запрещенная зона.
Т.о. получаем чередование разрешенных и запрещенных зон энергии – зонная структура Т.Т.
Зонные модели металлов, диэлектриков, полупроводников.
Металлы: к металлам относят вещества, у которых верхняя зона, заполняемая электронами, не полностью заполнена.
Это происходит, если разрешенная зона образуется из атомов энергетического уровня, не заполненного электронами.
У типичных металлов верхняя зона возникает из s – состояния, в котором находится 1 электрон.
В кристалле s- зона содержит 2N – состояний, поэтому s – зона будет заполнена на ½.