Теорема отсчетов в частотной области

Так как соотношения характеризующие преобразование Фурье обладают свойством дуальности (то есть позволяют менять t-время на частоту ω и ω на t), то можно по аналогии с теоремой отсчетов во временной области сформулировать теоремой отсчетов в частотной области. Эта теорема будет справедлива для сигналов, ограниченных во времени.

Теорема:

1) Спектральная характеристика аналогового сигнала s(t), ограниченного по длительности (s(t)≡0, при |t|=T_c/2), полностью определяется своими отсчетами , взятыми через интервал

2) Значения спектральной характеристики при любых значениях частоты ω могут быть найдены в виде суммы ряда

(1)

Если допустить, что исходный аналоговый сигнал s(t) имеет ограниченный спектр или , то число слагаемых ряда (1) будет конечным:

Из свойств преобразований Фурье известно, что значения спектральной характеристики при отрицательных аргументах комплексно сопряжены с соответствующими значениями спектральных коэффициентов с положительными аргументами.

Минимальной число спектральный коэффициентов, полностью определяющих функции будет равно 1+f_вТ_с.

Так как каждый комплексный спектральный коэффициент, кроме нулевого, определяется модулем и аргументом, то общее число независимых параметров (отсчетов модуля и отсчетов аргументов спектральных коэффициентов), полностью определяющих функцию S (ω), равняется N=1+f_вТ_с+1.

Вывод: число независимых параметров определяющих сигнал в частотной области в точности совпадает с числом независимых параметров определяющих сигнал во временной области.