Дискретное преобразование Фурье

Зная теоремы отсчетов во временной и частотной области можно ввести понятие дискретного преобразовании Фурье (ДПФ), связывающего отсчеты сигналов во временной области с отсчетами сигнала в частотной области.

Пусть дискретный сигнал s_т(t) получен путем временной дискретизации аналогового сигнала s(t), спектр которого ограничен частотой ω_в=2πf_в, причем T=π/ω_в=1/2f_в (теорема Котельникова), если аналоговый сигнал к тому же ограничен по длительности, то , N=1+2f_вT_c.

Применим теорему отсчетов для этого выражения:

, где

число слагаемых здесь конечно k=0; ±1; ±2;…. ±f_вT_c, то есть спектр ограниченный.

Известно, что спектральная характеристика дискретного сигнала периодически повторяется через N отрезков.

, k=0, 1, 2, …N-1.

В дискретном преобразовании Фурье принято обозначать спектральные коэффициенты таким образом:

, k=0, 1, 2, …N-1 – прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Прямое ДПФ устанавливает связь между отсчетами сигналов в частотной области { S _т(k)} и отсчетами сигналов во временной области {s(nT)}.

- обратное ДПФ.

Вывод: ДПФ устанавливает связь между дискретными отсчетами сигнала в частотной области и дискретными отсчетами сигнала во временной области, в отличии от обычного преобразования Фурье (между сигналом и спектром).

Применение ДПФ особенно удобно при вычислениях на цифровых вычислительных машинах.