Ступенчатое изменение толщины диска

Рисунок 8.8

– из условия равновесия;

–из условия равенства перемещений.

Лекция 8

8.2 Методы расчета дисков произвольной конфигурации

Численные методы:

–метод двух расчетов (Скубачевский);

–метод кольцевых элементов (Хронин, МУ);

– метод конечных разностей (Штода);

– методы конечных элементов (МКЭ), универсальные CAE-системы Cosmos/M, ANSYS, NASTRAN, и т.д..

8.2.1 Метод кольцевых элементов

Метод основан на замене профиля диска произвольного очертания ступенчатым профилем, состоящим из участков-колец постоянной толщины.

Рисунок 8.9

Рисунок 8.10

Для выполнения расчета диск разбивается кольцевыми сече­ниями на ряд кольцевых участков. Радиальная толщина кольца может быть различной, но не более 15 – 20 % радиуса. Чем более интенсивно изменяются расчетные параметры, в том числе тол­щина диска, тем меньше должна быть радиальная толщина кольца.

Основой методики расчета являются формулы для определе­ния изменения напряжений в пределах кольца. Начиная расчет с нулевого сечения, где исходные напряжения должны быть за­даны, рассчитываем приращение напряжений на всех кольцевых участках, с помощью которых строятся эпюры распределения напряжений σ_r и σ_θ вдоль радиуса диска.

Принимается, что в пределах участка температура изменяется по линейному закону

T=T_i+[(T_i+1-T_i)/(r_i+1-r_i)]/(r-r_i)

Такие характеристики, как Е, α, ν в пределах участка берутся постоянными и определяются по средней температуре.

Из решения дифференциального уравнения (***) (частный случай – b=const)

получают формулы для приращений напряжений в пределах кольцевого участка (от сечения i до сечения i+1):

где X_i=(r_i+1-r_i)/r² _i+1, …

Напряжения на внешнем радиусе участка R_i+1

σ_θi+1 = σ_θi + Δ σ_θi

σ_ri+1 = σ_ri + Δ σ_ri

Эти напряжения не равны напряжениям на внутреннем радиусе следующего кольцевого участка из-за ступенчатого изменения толщины диска. (см. Ступенчатое изменение толщины диска).

Последовательность расчета методом кольцевых элементов:

– указывают напряжения в 1 сечении (r₁=R₀ – для диска с центральным отверстием, r₁ = (0,01-0,05)R_n для диска без отверстия). Для диска с отверстием

σ_r1=0, σ_θ1 – любое действительное число.

Для диска без отверстия

σ_r1=σ_θ1 – любое действительное число.

Известно также значение контурной нагрузки σ_Rb (σ_Rn);

– проводится 1 расчет с указанными условиями. В ре-зультате получают радиальные напряжения на контуре σ ⁽¹⁾_Rb, отличающиеся от известного напряжения σ_Rb;

– проводят 2 расчет с другой парой напряжений σ_r1, σ_θ1 при Т=const, ω=0. Определяют новое значение σ ⁽²⁾_Rb.

– определяют коэффициент φ из условия согласования

σ_Rb= σ ⁽¹⁾_Rb+ φ σ ⁽²⁾_Rd

φ=(σ_Rb - σ ⁽¹⁾_Rb)/ σ ⁽²⁾_Rb

– определяют напряжения во всех сечениях

σ_θi= σ⁽¹⁾_θi + φ σ⁽²⁾_θi

σ_ri =σ⁽¹⁾_ri+ φσ⁽²⁾_ri

σ ^׀ _θi= σ ^{׀ (1)}_θi + φ σ ^{׀ (2)}_θi

σ ^׀ _ri =σ ^{׀ (1)}_ri+ φσ ^{׀ (2)}_ri

В результате для каждого сечения получится две пары напряжений. В качестве расчетного напряжения следует брать среднее арифметическое значение.

8.3 Упруго- пластический расчет дисков

Приведенные выше основные уравнения для определения напряжений в дисках были получены в предположении упругого поведения материала диска, когда максимальные напряжения в диске не превышают предела пропорциональности. Опыт доводки и эксплуатации двигателей показывает, что появление пластических деформаций в ступице само по себе не означает его разрушения, а лишь ведет к перераспределению напряжений. Более того, допуская более высокий, чем предел пропор­циональности, уровень напряжений в диске, мож­но уменьшить его вес. Важно, как будет показано ниже, чтобы пластическая деформация не приво­дила к потере несущей способности диска, то есть не охватывала полностью его меридиональное се­чение. В большинстве дисков современных турбин высокого давления материал испытывает пласти­ческие деформации.

Основой расчета НДС дисков в упруго- пластической постановке являются теории пластичности. По одной из теорий, переход упругого состояния в пластическое происходит тогда, когда интенсивность напряжений σ_i (σ_экв) достигает предела текучести

Диаграмма растяжения образца зависит от свойств материала и мало зависит от типа напряженного состояния. Поэтому данная диаграмма может использоваться для связи между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций в сложном упруго- пластическом напряженном состоянии.

Рисунок 8.11

Любая точка на диаграмме напряжений может быть представ­лена зависимостью

Тангенс угла φ^/ является аналогом модуля упругости Е и обозна­чается Е'. Его часто называют секущим модулем. Когда точка лежит на прямом участке диаграммы, в пределах упругих дефор­маций, секущий модуль совпадает по величине и смыслу с физиче­ским модулем упругости материала.

Упругие деформации при пластическом деформировании незначительны. Поэтому, пренебрегая ими, можно принять, что коэффициент Пуассона

ν=0,5.

Таким образом, для расчета участков, находящихся в упруго­пластическом состоянии, могут быть использованы все формулы, ранее полученные для упругого состояния, с заменой в них дей­ствительного модуля упругости Е секущим модулем Е ' и увеличе­нием ν до 0,5.

Расчет диска производится методом последовательных при­ближений. Исходной оценкой распределения напряжений в диске является расчет без учета пластических деформаций. На основе результатов этого расчета вычисляются эквивалентные напряже­ния во всех сечениях диска. В тех сечениях, где эквивалентные напряжения больше предела пропорциональности материала, воз­никают пластические деформации. Расчет эквивалентных напря­жений производится по формуле

Сравнить

Для проведения дальнейшего расчета необходимо иметь для всех сечений, где возникают пластические деформации, диаграммы растяжений для материала диска с учетом температуры в сече­нии (рисунок 8.12).

Рисунок 8.12

На прямой, являющейся продолжением прямого участка диаграммы растяжения, откладывается эквивалентное напряжение (точка А). Точка А показывает интенсивность дефор­мации ε_i1. Однако найденной интенсивности деформаций соответ­ствует интенсивность напряжения, определяемая точкой В, ле­жащей на кривой деформирования. Тогда через точку В прово­дится прямая, угол наклона которой является секущим модулем упругости для данного сечения:

По данным второго расчета вновь определяются эквивалентные напряжения, которые откладываются на прямой секущего модуля (точка С). Затем проводятся для всех расчетных сечений диска линии новых секущих модулей и расчет повторяется. Так про­должается до тех пор, пока эквивалентные напряжения не ока­жутся на диаграмме точками, лежащими непосредственно на кри­вых деформирования (точка F), а напряжения предыдущего приближения практически не будут отличаться от напряжений последующего приближения. Обычно для этого достаточно 4 – 5 приближений.

Пластические деформации снижают пиковые напряжения – напряжения, превышающие предел текучести. В основной части диска сохраняется упругое напряженное состояние.

Пластическая деформация материала диска в ряде случаев позволяет повысить его цикличес­кую долговечность за счет создания благоприят­ного поля остаточных напряжений. Это явление на­зывается автофретированием. Суть его состоит в следующем. Диск подвергают однократному воз­действию центробежных сил при частоте враще­ния, несколько превышающей рабочую. В наибо­лее нагруженной зоне диска вблизи внутренней поверхности ступицы напряжения превышают пре­дел текучести материала, возникает пластическая деформация.

После остановки диска на­пряжения снижаются, но не до нуля, как это было бы при упругом поведении материала. В диске возникают остаточные напряжения.

Созданное таким образом благоприятное поле остаточных напряжений приводит к тому, что при последующем эксплуатационном нагружении дис­ка его материал пластически больше не деформи­руется. Возникающие при нагружении окружные напряжения растяжения суммируются с остаточ­ными напряжениями сжатия, и суммарные напря­жения уже не превосходят предел текучести.

Автофретирование представляет собой от­дельную технологическую операцию, которую проводят на специальных, так называемых разгон­ных стендах. Как правило, автофретиро-ванию под­вергаются высоконагруженные диски турбины.

8.4 Запас прочности дисков

Запас прочности диска является одним из основных критериев, оценивающих работоспособность и надежность его конструкции. Стремление к достижению минимальной массы приводит к тому, что запас прочности дисков авиационных ГТД составляет

[K_m]=1,3 – 1,8

Однако надежность конструкции и безопасность полетов при та­ких низких запасах прочности полностью гарантируются и обес­печиваются многочисленными испытаниями при создании ГТД.

Запас прочности оценивается отношением предельного напря­жения, выдерживаемого данным материалом, к наибольшему эк­вивалентному напряжению, действующему в наиболее опасном сечении:

Для дисков первых ступеней компрессоров, работающих при относительно низких температу­рах, при расчете К_m вместо предела длительной прочности можно использовать предел кратковре­менной прочности σ_в .

Диск имеет сложное напряженное состояние. Эквивалентное напряжение для него определяется согласно одной из гипотез теории прочности.

Одной из наиболее распространенных гипотез, получивших большую практическую проверку, является гипотеза наибольших касательных напряжений. Согласно этой гипотезе наибольшее касательное напряжение возникает на площадках, равнонаклон­ных площадкам наибольшего и наименьшего главных напряжений, и равно полуразности этих напряжений. Тогда наибольшее экви­валентное напряжение равно разности главных напряжений

Другой, не менее распространенной гипотезой является энер­гетическая. По этой гипотезе в качестве критерия предельного упругого состояния принята энергия формоизменения. Тогда эк­вивалентное напряжение определяется по формуле

Универсальной и общепризнанной в настоящее время является теория прочности Мора. По этой теории для ма­териалов, имеющих несимметричные предельные состояния, эквивалентные напряжения представляются формулой

где ν — отношение предела текучести при растяжении к пределу текучести при сжатии:

В частном случае для пластичных материалов ν= 1.

Сложное напряженное состояние диска, изменяющиеся вдоль радиуса температура и свойства материала не позволяют заранее указать те радиусы, на которых запасы прочности окажутся мини­мальными.

Поэтому необходимо строить график распределения запасов прочности по радиусу и проверить выполнение условия

K_{m min} ≥ [K_m]