В нелинейных цепях переменного тока происходят искажения форм кривых токов и напряжений. Несинусоидальные функции токов i (t)и напряжений u (t), как известно, можно представить в виде гармонических рядов Фурье. В гармонических методах расчета решение для искомых величин находят в виде суммы отдельных гармоник.
В простейших случаях решение для искомой функции в виде гармонического ряда Фурье удается получить в результате разложения в ряд Фурье найденного в общем виде решения. В качестве примера рассмотрим расчет тока в нелинейной катушке (тока холостого хода трансформатора) (рис. 42). Чтобы получить сравнительно простое решение, применим для катушки параллельную схему замещения (рис. 44). Вебер-амперную характеристику катушки аппроксимируем уравнением степенного полинома: iL (y) = ay + by 5.
Пусть к зажимам катушки приложено напряжение u (t) =Um ×sin(wt+ 90o).Магнитное потокосцепление катушки связано с напряжением уравнением индукции:
, откуда .
Ток в резисторе определяется по закону Ома:
|
|
.
Ток в катушке найдется в результате подстановки функции y (t)в уравнение аппроксимации:
Ток источника определяется по первому закону Кирхгофа, при этом сложение гармоник токов одинаковой частоты можно выполнять в комплексной форме:
,
где I 1 m = IL 1 m + jIR 1 m = I 1 m eja 1.
Анализ решения показывает, что намагничивающий ток катушки имеет несинусоидальную форму и содержит в своем составе только нечетные гармоники, при этом основная гармоника тока отстает от приложенного напряжения на угол j = yu - yi = 90o - a 1.
Решение для искомой функции в виде суммы гармоник можно получить также методом гармонического баланса. Суть этого метода состоит в том, что ожидаемое решение для функции f (t)представляется в виде суммы основной и нескольких высших гармоник:
,
где В 1, С 1, В 2, С 2…- неизвестные коэффициенты, подлежащие определению. Затем амплитуды гармоник всех токов и напряжений выражаются через неизвестные коэффициенты. После этого балансируются коэффициенты для одинаковых гармоник в уравнениях Кирхгофа, составленных для расчетной схемы. В результате получается система алгебраических уравнений с неизвестными коэффициентами искомой функции, в результате решения которой определяются сами коэффициенты.
В качестве примера рассмотрим расчет режима в схеме рис. 45.
Пусть к выводам схемы приложено синусоидальное напряжение
, а вебер-амперная характеристика нелинейной катушки аппроксимирована уравнением .
Дифференциальное уравнение цепи будет иметь вид:
.
В качестве неизвестной функции, подлежащей определению, принимаем потокосцепление y (t), решение для которой будем искать в виде суммы 1-й и 3-й гармоник (четные гармоники в решении отсутствуют):
|
|
,
где В 1, С 1, В 3, С 3 - неизвестные коэффициенты.
Выражаем ток и напряжения на отдельных участках схемы через искомую функцию y (t):
где амплитуды гармоник состоят в некоторой функциональной зависимости от неизвестных коэффициентов В 1, С 1, В 3, С 3.
.
.
Теперь составляется баланс коэффициентов для отдельных гамоник (уравнения гармонического баланса) в соответствии со 2-м законом Кирхгофа u (t) = uR (t) + uL (t):
,
,
,
.
В алгебраических уравнениях гармонического баланса отдельные слагаемые в левой части являются некоторыми функциями неизвестных коэффициентов В 1, С 1, В 3, С 3. Решение этой системы уравнений представляет зачастую большую математическую трудность.
В виду больших математических осложнений, возникающих при определении неизвестных коэффициентов, метод гармонического баланса оказывается мало эффективным и применяется редко.