Аналитические методы расчета нелинейных цепей

Установившейся режим нелинейной цепи постоянного тока можно опи­сать системой нелинейных алгебраических уравнений Кирхгофа, в которых связь между напряжением и током на нелинейных элементах выражена в виде нелинейного уравнения аппроксимации.

Как известно, в математике не существует общих методов решения сис­тем нелинейных уравнений. В каждом конкретном случае метод решения опре­деляется конкретными условиями задачи: структурой системы уравнений, ти­пом аппроксимации ВАХ нелинейных элементов и другими факторами.

В самых простых случаях возможно выполнить непосредственное реше­ние нелинейного уравнения. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источника ЭДС Е, линейного резистора R ₁ и нелинейного резистора НЭ₂ (рис. 16), ВАХ которого аппроксимирована уравнением: а); б); в).

По второму закону Кирхгофа получим уравнение: .

Вид решения этого уравнения зависит от структуры уравнения аппрокси­мации ВАХ.

а) - решение задачи сводится к решению квадратного уравнения с неизвестным током I;

б)- решение задачи сводится к решению квадратного уравнения с неизвестным на­пряжением U ₂;

в)- требуется решение алгеб­раического уравнения 5-й степени, что выполнить обычным методом невоз­можно.

В общем случае для решения системы нелинейных алгебраических урав­нений используют так называемый метод последовательных приближений или метод итераций. Сущность данного метода состоит в следующем: задаются в первом приближении значением искомой величины . Решают задачу по вы­бранному алгоритму в направлении к источнику, в результате чего определяют расчетное значение ЭДС источника . Сравнивают расчетное значение ЭДС источника с заданным значением Е и с учетом неравенства задаются значением искомой величины во втором приближении и повторяют расчет по тому же алгоритму. Циклы расчета (итерации) повторяют до достижения же­лаемой точности искомой величины.

Метод последовательных приближений широко используется при расчете нелинейных цепей с помощью ЭВМ. При составлении алгоритма расчета для ЭВМ следует особое внимание обращать на то, чтобы итерационный процесс сходился, в противном случае ЭВМ выдаст ошибку. Рассмотрим несколько примеров.

Пример. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источника ЭДС Е, линейного резистора R ₁ и нелинейного элемента НЭ₂ (рис. 5). На рис. 17а, б показаны два варианта ВАХ нелинейного элемента.

По 2-му закону Кирхгофу получим: или . На рис. 17а, б показано графическое решение этого уравнения, где точка n соответствует значению искомой величины (U ₂, I).

Основной магнитный поток Ф создается суммой МДС обеих обмоток. По закону Ома для магнитной цепи:

=,

где Z _м - комплексное магнитное сопротивление сердечника, - суммарный намагничивающий ток, равный току холостого хода. Из получен­ного уравнения следует:

, т.е. ток первичной цепи трансформатора равен сумме тока холо­стого хода I и приведенного вторичного тока с обратным знаком (-).

Векторная диаграмма токов и напряжений для приведенного трансфор­матора пока­зана на рис. 38.